Root of equation

[myra_panama]

Let g be a function defined on $[a,b]$ with properties:
i) if $x\in[a,b]$ then $g(x)\in[a,b];$
ii) $g'$ is continuous on $[a,b]$;
iii) for all $x\in[a,b]$, $\lvert g'(x)\rvert<1$.
1) Prove that the equation $x=g(x)$ has exactly one root in $[a,b]$.
2) Show that if condition i) is not satisfied then the equation $x=g(x)$ may have no roots in $[a,b]$

[mitia87]

Задача на простое понимание метода последовательных приближений. И условия Липшица. Ничего олимпиадного.

Предлагаю чуть более сложное упражнение (хотя тоже не олимпиадное):

Let $g$ be a function defined on $[a, b]$ with properties:
i) if $x \in [a, b]$ then $g(x) \in [a, b]$;
ii) $ g $ is continuous on $[a, b]$.
1) Prove that the equation $x = g(x)$ has at least one root in $[a, b]$.
2) Give an example when the equation $x = g(x)$ has more than one roots in $[a, b]$.

[ewert]

mitia87 в сообщении #466913 писал(а):

Предлагаю чуть более сложное упражнение (хотя тоже не олимпиадное):

Let $g$ be a function defined on $[a, b]$ with properties:
i) if $x \in [a, b]$ then $g(x) \in [a, b]$;
ii) $ g $ is continuous on $[a, b]$.
1) Prove that the equation $x = g(x)$ has at least one root in $[a, b]$.

Многократный бойан, даже и тут на форуме (лень искать). Просто теорема Больцано-Коши, к тому же первая.

-- Вс июл 10, 2011 12:18:42 --

Да, кстати:

mitia87 в сообщении #466913 писал(а):

Задача на простое понимание метода последовательных приближений. И условия Липшица.

Это уж (в рамках данной игрушки) высший пилотаж, можно сказать. Ничего этого не надо -- достаточно просто теоремы Лагранжа. И, кстати, непонятно, зачем понадобилось требовать ещё и "ii) $g'$ is continuous on $[a,b]$;".

[myra_panama]

ewert в сообщении #466919 писал(а):

Ничего этого не надо -- достаточно просто теоремы Лагранжа

Теорему Лагранжа для какой функции надо использовать?

(Оффтоп)

$f(x)=g(x)-x$ - сойдет?

ewert в сообщении #466919 писал(а):

зачем понадобилось требовать ещё и "ii) $g'$ is continuous on $[a,b]$

Это шо не пойдет... или не нужно..?

[ewert]

myra_panama в сообщении #466925 писал(а):

Теорему Лагранжа для какой функции надо использовать?

Непосредственно для исходной $g(x)$. После того, как существование хоть одного корня $c$ установлено (а оно сразу же следует из теоремы Больцано для $g(x)-x$) -- другие корни отсутствуют просто потому, что любое приращение функции $g(x)$ от точки $c$ по модулю строго меньше приращения аргумента (в точности по теореме Лагранжа).

myra_panama в сообщении #466925 писал(а):

Это шо не пойдет... или не нужно..?

Это лишнее требование -- для теоремы Лагранжа оно не нужно.