Существуют ли тела, не имеющие объема?

[Almazov]

Существуют ли тела, не имеющие объема?Именно тела, а не двухмерные фигуры типа круга или квадрата.

В старой советской книжке "Преподавание геометрии в 9-10 классах" на с.232 сказано, что такие тела существуют, однако доказательство их существования в ней не приводится.

Приведите, пожалуйста, примеры таких тел и математические доказательства.Заранее спасибо!

[Kallikanzarid]

Пересечение шара с объединением двух пересекающихся в его центре плоскостей.

[Almazov]

Kallikanzarid в сообщении #466741 писал(а):

Пересечение шара с объединением двух пересекающихся в его центре плоскостей.

Можно, пожалуйста, более подробно?

[мат-ламер]

Kallikanzarid в сообщении #466741 писал(а):

Пересечение шара с объединением двух пересекающихся в его центре плоскостей.

В вопросе топик-стартера подразумевалось тело не имеющее объём (т.е. для которого объём нельзя определить), а не тело, имеющее нулевой объём. Можно доказать существование множества, для которого нельзя определить объём (в смысле Лебега). Доказательство неконструктивное и опирается на аксиому выбора. В литературе обычно рассматривается множество на окружности, но думаю, пример можно обобщить для трёхмерного пространства. Просили привести пример. Сможет ли это доказательство выступать как пример такого множества - я не знаю. Будет ли это множество телом - т.е. иметь размерность три в том смысле, как его определилили Александров с Урысоном - это надо спросить у знатоков.

-- Сб июл 09, 2011 14:40:25 --

Но если я усложняю, и имелось в виду тело, имеющее нулевой объём, то можно рассмотреть трёхмерную сферу в четырёхмерном пространстве.

[Almazov]

мат-ламер в сообщении #466745 писал(а):

Kallikanzarid в сообщении #466741 писал(а):

Пересечение шара с объединением двух пересекающихся в его центре плоскостей.

В вопросе топик-стартера подразумевалось тело не имеющее объём (т.е. для которого объём нельзя определить), а не тело, имеющее нулевой объём. Можно доказать существование множества, для которого нельзя определить объём (в смысле Лебега). Доказательство неконструктивное и опирается на аксиому выбора. В литературе обычно рассматривается множество на окружности, но думаю, пример можно обобщить для трёхмерного пространства. Просили привести пример. Сможет ли это доказательство выступать как пример такого множества - я не знаю. Будет ли это множество телом - т.е. иметь размерность три в том смысле, как его определилили Александров с Урысоном - это надо спросить у знатоков.

-- Сб июл 09, 2011 14:40:25 --

Но если я усложняю, и имелось в виду тело, имеющее нулевой объём, то можно рассмотреть трёхмерную сферу в четырёхмерном пространстве.

Вы ничего не усложняете.Имелись в виду неизмеримые тела, для которых объём нельзя определить.

[мат-ламер]

Если речь бы шла об одномерных множествах на окружности, то можно посмотреть http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node7.html. Almazov Вопрос Ваш не тривиальный.

-- Сб июл 09, 2011 16:24:37 --

Нетривиальность в том, что множество, не имеющее объём, построить можно. А вот как насчёт тела?

[Munin]

Именно на такие части распиливают шар в парадоксе Банаха-Тарского. Поэтому, если существуют два таких тела, сложенные вместе (собственно, шар), то наверное, они существуют и по отдельности. Убедительно? :-) (Парадокс, разумеется, опирается на аксиому выбора.)

[мат-ламер]

А если объём понимать не в смысле Лебега, а в смысле Римана, то ситуация, вероятно, упрощается.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #466785 писал(а):

А если объём понимать не в смысле Лебега, а в смысле Римана,

Только в смысле Жордана, а не Римана. Тут контрпример очевиден: множество точек с рациональными координатами (ну или, наоборот, иррациональными).

[мат-ламер]

Это я понимаю. Но тут вопрос был про тела. Будет ли параллелепипед с выброшенными рациональными точками телом? По крайней мере мне тут в одном посте объяснили, что это связное множество.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #466814 писал(а):

Будет ли параллелепипед с выброшенными рациональными точками телом?

"Тело" -- это лирика, поэтому вопрос празден.

[Almazov]

мат-ламер в сообщении #466814 писал(а):

Будет ли параллелепипед с выброшенными рациональными точками телом?

Подведем предварительные итоги:

1)То, что для превращения измеримой фигуры в неизмеримую необходимо исключить все плоскости с рациональными координатами я понял.Но я не понимаю, как эту фигуру представить графически.Хотелось бы увидеть наглядные примеры.

2)Хотелось бы побольше узнать об упоминавшемся выше парадоксе удвоения шара.Там, вроде, шар как раз разбивается на такие неизмеримые части.Прочел страницу в википедии - ничего не понял.Да и визуально непонятно, как можно из частей одного шара собрать два точно таких же?Разве что клонировать :))

[mihailm]

Almazov в сообщении #466843 писал(а):

...
1)То, что для превращения измеримой фигуры в неизмеримую необходимо исключить все плоскости с рациональными координатами я понял
...

Ничего вы не поняли, это в пустую плоскость иррациональные точки добавляли))

[Sonic86]

Almazov в сообщении #466843 писал(а):

Да и визуально непонятно, как можно из частей одного шара собрать два точно таких же?Разве что клонировать :))

Так ведь говорится, что доказательство неконструктивно. Т.е. и представить Вы это себе не сможете (ну может кто-то может, я не могу).

[Almazov]

mihailm в сообщении #466848 писал(а):

Almazov в сообщении #466843 писал(а):

...
1)То, что для превращения измеримой фигуры в неизмеримую необходимо исключить все плоскости с рациональными координатами я понял
...

Ничего вы не поняли, это в пустую плоскость иррациональные точки добавляли))

А разве нельзя пойти обратным путем и из готовой плоскости исключать рациональные точки?Результат разве не тот же? Ведь R \ Q= I, разве не так?