Тензор электромагнитного поля

[EvilPhysicist]

Пусть у нас есть электромагнитное поле с потенциалом $ A^i=(A^0, A^1,A^2,A^3)=(\phi, A_x,A_y,A_z) $, при $ c=\hbar=1 $ в одной системе отсчёта.
Для простоты будем считать пространство плоским. И выберем вторую систему координат, матрица перехода к которой будет $ \Gamma^{ik}=\left( \begin{matrix} \gamma & -v \gamma & 0 & 0\\ -v \gamma & \gamma & 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right ) $, $\gamma=\left ( 1- v^2 \right)^{- \frac{1}{2}} $.
Образуем в первой системе тензор электромагнитного поля $ F_{ik}=d_i A_k - d_k A_i $, $ d_n=\frac{d}{dx^n} $, а затем преобразуем его заданными преобразованиями в систему 2 $ F'^{ik}=F_{nm} \Gamma^{in} \Gamma^{km} $ то он перестанет быть косо симметричным.
$F'^{ik}= \left ( \begin{matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & H_z & -H_y\\ -E_y & -H_z &0 &H_x \\ -E_z & H_y & -H_x & 0 \end{matrix} \right) \left ( \begin{matrix} \gamma^2 (1+v^2) & -2v \gamma & 0 & 0 \\ -2v\gamma & \gamma^2 (1+v^2) & 0& 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2v\gamma E_x & \gamma^2(1+v^2) E_x &E_y & E_z \\ -\gamma^2(1+v^2) E_x & 2v\gamma E_x & H_z & -H_y \\ -\gamma^2(1+v^2)E_y +2v\gamma H_z & -\gamma^2(1+v^2) H_z +2v \gamma E_y &0 & H_x \\ -\gamma^2 (1+v^2) E_z -2v \gamma H_y & \gamma^2(1+v^2) H_y +2v \gamma E_z & -H_z &0 \end{matrix} \right) $
При этом очевидно, что если мы сначала преобразуем вектор потенциала $ A'^i = A_k \Gamma^{ik} $, а за тем по нету построим тензор $ F''_{ik} =d_i A'_k - d_k A'_i $ то он будет косо симметричным.
По этому мне не понятно две вещи:
1) Описывает ли верно поле в системе 2 тензор $ F''^{ik} $?
2) Что описывает тензор $ F'^{ik} $ ?

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #464288 писал(а):

Пусть у нас есть электромагнитное поле с потенциалом $ A^i=(A^0, A^1,A^2,A^3)=(\phi, A_x,A_y,A_z) $, при $ c=\hbar=1 $ в одной системе отсчёта.
Для простоты будем считать пространство плоским. И выберем вторую систему координат, матрица перехода к которой будет $ \Gamma^{ik}=\left( \begin{matrix} \gamma & -v \gamma & 0 & 0\\ -v \gamma & \gamma & 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right ) $, $\gamma=\left ( 1- v^2 \right)^{- \frac{1}{2}} $.
Образуем в первой системе тензор электромагнитного поля $ F_{ik}=d_i A_k - d_k A_i $, $ d_n=\frac{d}{dx^n} $, а затем преобразуем его заданными преобразованиями в систему 2 $ F'^{ik}=F_{nm} \Gamma^{in} \Gamma^{km} $ то он перестанет быть косо симметричным.
$F'^{ik}= \left ( \begin{matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & H_z & -H_y\\ -E_y & -H_z &0 &H_x \\ -E_z & H_y & -H_x & 0 \end{matrix} \right) \left ( \begin{matrix} \gamma^2 (1+v^2) & -2v \gamma & 0 & 0 \\ -2v\gamma & \gamma^2 (1+v^2) & 0& 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2v\gamma E_x & \gamma^2(1+v^2) E_x &E_y & E_z \\ -\gamma^2(1+v^2) E_x & 2v\gamma E_x & H_z & -H_y \\ -\gamma^2(1+v^2)E_y +2v\gamma H_z & -\gamma^2(1+v^2) H_z +2v \gamma E_y &0 & H_x \\ -\gamma^2 (1+v^2) E_z -2v \gamma H_y & \gamma^2(1+v^2) H_y +2v \gamma E_z & -H_z &0 \end{matrix} \right) $
При этом очевидно, что если мы сначала преобразуем вектор потенциала $ A'^i = A_k \Gamma^{ik} $, а за тем по нету построим тензор $ F''_{ik} =d_i A'_k - d_k A'_i $ то он будет косо симметричным.
По этому мне не понятно две вещи:
1) Описывает ли верно поле в системе 2 тензор $ F''^{ik} $?
2) Что описывает тензор $ F'^{ik} $ ?

А чего это вы тензор по векторным правилам преобразуете??? Тензор второго ранга преобразуется по "дважды векторным" правилам (по каждому индексу как вектор). Делайте правильно (поставьте еще слева транспонированную матрицу преобразования) и не будет проблем.

[EvilPhysicist]

Alex-Yu в сообщении #464300 писал(а):

Тензор второго ранга преобразуется по "дважды векторным" правилам (по каждому индексу как вектор)

А я разве не так сделал?

EvilPhysicist в сообщении #464288 писал(а):

а затем преобразуем его заданными преобразованиями в систему 2 $ F'^{ik}=F_{nm} \Gamma^{in} \Gamma^{km} $

Alex-Yu в сообщении #464300 писал(а):

поставьте еще слева транспонированную матрицу преобразования

Это $ F'^{ik}=\left( \Gamma^{in} \right)^{-1} F_{nm} \Gamma^{km} $

[espe]

Alex-Yu в сообщении #464300 писал(а):

Образуем в первой системе тензор электромагнитного поля , а затем преобразуем его заданными преобразованиями в систему 2 то он перестанет быть косо симметричным.

Матрицы не коммутируют. Нужно вычислять $F'=\Gamma F \Gamma\neq F \Gamma^2$

[EvilPhysicist]

espe в сообщении #464317 писал(а):

Матрицы не коммутируют. Нужно вычислять $F'=\Gamma F \Gamma\neq F \Gamma^2$

А почему закон преобразования выглядит именно $ F'=\Gamma F \Gamma $?
Ведь если это тензор, то можно сказать, что в некотором диадном базисе $ F= F^{ik} \vec e_i \otimes \vec e_k $ и если $ \vec e'_i =\Gamma_{ik} \vec e^k $, то $ F'=F'^{ik} \vec e'_i \otimes \vec e'_k =F'^{ik} \Gamma_{in} \Gamma_{km} \vec e^n \otimes \vec e^m= F'^{ik} \Gamma_{in} \Gamma_{km} \eta^{ns} \eta^{mt} \vec e_s \otimes \vec e_t =F^{st} \vec e_s \otime \vec e_ t $ и значит $ F^{st}=F'^{ik} \Gamma_{in} \Gamma_{km} \eta^{ns} \eta^{mt} $ и тогда $ F'^{ik}=F^{st} \eta_{mt} \eta_{ns} \Gamma^{km} \Gamma^{in} $

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #464333 писал(а):

А почему закон преобразования выглядит именно $ F'=\Gamma F \Gamma $?

Потому что следите за индексами. Когда вы пишете формулу $ F'^{ik}=F_{nm} \Gamma^{in} \Gamma^{km},$ вы можете свободно переставлять порядок сомножителей, поскольку как именно они будут сворачиваться, указано в индексах. А когда вы перерисовываете это как матричные операции, вы должны восстановить смысл происходящего, распутав ниточки между индексами. У вас исходная матрица $F$ имеет $n$ "по вертикали" и $m$ "по горизонтали", и оба эти индекса попадают в свёртку, так что как матрица она должна быть умножена на что-то и слева и справа. Точно так же рассуждая, вы обнаружите, что каждая из $\Gamma$ по одному индексу умножается на что-то, а по другому остаётся свободной, так что она должна стоять сбоку в цепочке матричного произведения. Щас наберу в LaTeX.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #464309 писал(а):

А я разве не так сделал?

Нет не так. Впрочем, я не обратил внимание, что вы еще и матрицу преобразования в квадрат возвели. Вы же правильно написали $F'_{ij}=F^{nm}\Gamma_{in}\Gamma_{jm}$. Но $\Gamma_{in}\Gamma_{jm}$ это никак не квадрат матрицы $\Gamma$ хотя бы уже потому, что разных индексов четыре, а не два. Переписываем то же самое так: $F'_{ij}=\Gamma_{in}F^{nm}\Gamma_{jm}$. Первые два сомножителя это матричное произведение (идет свертка по индексам, стоящим рядом). А а вот последний сомножитель не матричное произведение: индексы не рядом стоят. Но если последний множитель транспонировать $\Gamma_{jm}=(\Gamma^T)_{mj}$, то получится обычное матричное произведение:
$F'_{ij}=\Gamma_{in}F^{nm}(\Gamma^T)_{mj}$.

Подобным же образом для других вариантов, отличающихся опусканием/подъемом индексов.

[EvilPhysicist]

Alex-Yu, понятно, спасибо.
А если у нас будет тензор большего ранга? Например $ T^{i_1 ... i_n}_{i_{n+1} ... i_m} $.
Формула для его перевода будет аналогичная $ T'^{i_1 ... i_n}_{i_{n+1} ... i_m}=T^{j_1..j_n}_{j_{n+1}...j_m} \prod\limits_{k=1}^{n} \Gamma_{j_k}^{i_k} \prod\limits_{s=n+1}^{m} \Gamma^{j_{s}}_{i_{s}} $
Как её записать через произведение матриц?

Или там можно транспонируя $ T^{i_1 ... i_n}_{i_{n+1} ... i_m} $ поочерёдно по разным индексам и свёртывая с матрицами перехода аналогично высчитать получившуюся матрицу?

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #464386 писал(а):

Как её записать через произведение матриц?

А никак Тензор ранга выше второго матрицей не изобразить. Во всяком случае прямолинейно. Хотя в специальных случаях можно, сопоставив, допустим, паре индексов один индекс, пробегающий уже бОльший диапазон значений. Например в теории упругости есть такие обозначения Фойгта, когда делается такое соответствие: xx=1, yy=2, zz=3, yz=4, xz=5, xy=6. Правда при этом нужно еще и тензора переопределить (причем это можно, в принципе, делать по разному) чтобы учесть, что, например, одному фойгтовскому индексу 6 соответствует две комбинации "нормальных" индексов: xy и yx. При суммировании по немому индексу двойки лишние возникают (в фойгтовских обозначениях работают только с симметричными тензорами) причем только для индексов 4,5 и 6. В общем тут надо разбираться конкретно в каждом случае.

[Munin]

$ F'^{ik}=F_{nm} \Gamma^{\text{(1) }in} \Gamma^{\text{(2) }km}=\Gamma^{\text{(1) }in} F_{nm} \Gamma^{\text{(2) }km}=$
$=\left ( \begin{array}{c|cccc} \text{(1) }i\text{ $\diagdown$ }n& 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0& \gamma & -v \gamma & 0 & 0 \\ 1& -v\gamma & \gamma & 0& 0\\ 2& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3& 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left ( \begin{array}{c|cccc} n\text{ $\diagdown$ }m& 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0& 0 & E_x & E_y & E_z \\ 1& -E_x & 0 & H_z & -H_y\\ 2& -E_y & -H_z &0 &H_x \\ 3& -E_z & H_y & -H_x & 0 \end{array} \right)\times$
$\times\left ( \begin{array}{c|cccc} \text{(2) }m\text{ $\diagdown$ }k& 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0& \gamma & -v \gamma & 0 & 0 \\ 1& -v\gamma & \gamma & 0& 0\\ 2& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3& 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $

-- 02.07.2011 19:53:29 --

EvilPhysicist в сообщении #464386 писал(а):

Как её записать через произведение матриц?

Уже никак.

Впрочем, если, скажем, от индексов тензора всего два участвуют в операциях свёртки, можно записать это как множество произведений матриц "по слоям тензора". Но если больше - уже сложнее. Например, я разрисовываю многоиндексный тензора как "таблицу из таблиц", помечая обязательно, где какой индекс, чтобы не запутаться. Иногда приходится один и тот же тензор разрисовывать разными способами.

-- 02.07.2011 20:01:57 --

Хоть на одну секунду да опаздываю с ответом. Пойду убью себя.

[EvilPhysicist]

Всё ясно, спасибо всем!

[Caran-d'Ache]

Можно нескромный вопрос.
Не подскажете ли внятную литературу (желательно с примерами и лучше без Ландау-Лифшица) по тензорному анализу. А то чувствуются пробелы. А если это ещё будет на примере теории электромагнетизма, то вообще цены бы не было таким книгам. :)

[EvilPhysicist]

Я занимался по Ю.И. Дмитриенко "Тензорное исчисление". Там всего по немногу, и геометрическое определение тензора, и криволинейные координаты, и тензорный анализ, и Риманова геометрия.
В Б.А. Дубровине "Современная геометрия" есть раздел про тензоры. Ещё есть Рашевский "Риманова геометрия и тензорный анализ".
Ну а по физике например К.В. Степаньяц "Классическая теория поля"

[Munin]

Caran-d'Ache в сообщении #465680 писал(а):

Не подскажете ли внятную литературу (желательно с примерами и лучше без Ландау-Лифшица) по тензорному анализу. А то чувствуются пробелы. А если это ещё будет на примере теории электромагнетизма, то вообще цены бы не было таким книгам. :)

У меня такое впечатление, что тензорный анализ простой как палка - проще векторного. А уж в электромагнетизме вообще делать нечего. Простите мой праздный интерес, но какие у вас пробелы?

[Caran-d'Ache]

EvilPhysicist в сообщении #465695 писал(а):

Я занимался по Ю.И. Дмитриенко "Тензорное исчисление". Там всего по немногу, и геометрическое определение тензора, и криволинейные координаты, и тензорный анализ, и Риманова геометрия.
В Б.А. Дубровине "Современная геометрия" есть раздел про тензоры. Ещё есть Рашевский "Риманова геометрия и тензорный анализ".
Ну а по физике например К.В. Степаньяц "Классическая теория поля"

Большое спасибо, надеюсь помогут :)!