Точки и окружность

[balerina_HA_neHcuu]

На плоскости имеется 2011 точек и окружность единичного радиуса.

а) Доказать, что на окружности найдется точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 2011.
б) Обязательно ли на окружности найдется континуум таких точек?

[balerina_HA_neHcuu]

Условие всем понятно?
Или нужно что-то пояснить?

[nnosipov]

balerina_HA_neHcuu в сообщении #466114 писал(а):

Условие всем понятно?
Или нужно что-то пояснить?

А что же здесь непонятного-то? Вот задача простая, это да. Как-то не очень тянет на олимпиадную.

[balerina_HA_neHcuu]

nnosipov в сообщении #466129 писал(а):

balerina_HA_neHcuu в сообщении #466114 писал(а):

Условие всем понятно?
Или нужно что-то пояснить?

А что же здесь непонятного-то? Вот задача простая, это да. Как-то не очень тянет на олимпиадную.

А какие тянут?
Если задача предлагалась на олимпиаде - она олимпиадная. Было бы удивительно, если бы все олимпиадные задачи были одинаковой сложности.

[nnosipov]

balerina_HA_neHcuu в сообщении #466132 писал(а):

Если задача предлагалась на олимпиаде - она олимпиадная.

А на какой олимпиаде? Я имел в виду, что здесь всё как-то, пардон, прямолинейно.

[balerina_HA_neHcuu]

nnosipov в сообщении #466133 писал(а):

balerina_HA_neHcuu в сообщении #466132 писал(а):

Если задача предлагалась на олимпиаде - она олимпиадная.

А на какой олимпиаде?

Если память не изменяет, на USAJMO - USA Junior Mathematical Olympiad.
Только не в этом году. В оригинальном условии вместо 2011 другое значение.

[nnosipov]

balerina_HA_neHcuu в сообщении #466134 писал(а):

Если память не изменяет, на USAJMO - USA Junior Mathematical Olympiad.

Ну-у, для сельской местности сойдёт

[balerina_HA_neHcuu]

nnosipov в сообщении #466135 писал(а):

balerina_HA_neHcuu в сообщении #466134 писал(а):

Если память не изменяет, на USAJMO - USA Junior Mathematical Olympiad.

Ну-у, для сельской местности сойдёт

А вы не перепутали сумму расстояний с расстоянием, как bot?

[nnosipov]

balerina_HA_neHcuu в сообщении #466136 писал(а):

А вы не перепутали сумму расстояний с расстоянием, как bot?

Нет, не перепутал. Я намекну: нужно взять среднее арифметическое данных точек и ... Дальше сами.

[balerina_HA_neHcuu]

nnosipov в сообщении #466137 писал(а):

balerina_HA_neHcuu в сообщении #466136 писал(а):

А вы не перепутали сумму расстояний с расстоянием, как bot?

Нет, не перепутал. Я намекну: нужно взять среднее арифметическое данных точек и ... Дальше сами.

Ничего там брать не надо. Достаточно неравенство треугольника вспомнить.

[nnosipov]

balerina_HA_neHcuu в сообщении #466139 писал(а):

Ничего там брать не надо. Достаточно неравенство треугольника вспомнить.

А я вот взял, и не жалею

[Lesnic]

нельзя, расположите эти точки внутри окружности

[age]

Lesnic в сообщении #466147 писал(а):

нельзя, расположите эти точки внутри окружности

Рассмотрим одну точку вместо 2011. Построим окружность с центром в данной точке радиуса 1. Есть 4 случая:
1) она не пересечёт исходную окружность, тогда расстояние от исходной точки до исходной окружности больше 1;
2) она коснётся исходной окружности. Расстояние от точки до исходной окружности ровно 1;
3) она пересечёт исходную окружность в двух точках. Тогда соединим точки пересечения окружностей хордой $AB$ и проведём через исходную точку перпендикуляр к $AB$. Он пересечёт исходную окружность в точке C. Расстояние от исходной точки до точки С будет больше 1;
4) точка находится в центре исходной окружности. Тогда расстояние от данной точки до любой точки окружности 1.

Точно так же любое число точек. Хоть 2011, хоть 200000011.

[nnosipov]

Lesnic в сообщении #466147 писал(а):

нельзя, расположите эти точки внутри окружности

Чего нельзя-то?

-- Чт июл 07, 2011 23:26:54 --

age в сообщении #466151 писал(а):

Рассмотрим одну точку вместо 2011. Построим окружность с центром в данной точке радиуса 1. Есть случая:
1) она не пересечёт исходную окружность, тогда расстояние от исходной точки до исходной окружности больше R;
2) она коснётся исходной окружности. Расстояние от точки до исходной окружности ровно R;
3) она пересечёт исходную окружность в двух точках. Тогда соединим точки пересечения окружностей хордой $AB$ и проведём через данную точку перпендикуляр к $AB$. Он пересечёт исходную окружность в точке C. Расстояние от исходной точки до точки С будет больше 1;
4) точка находится в центре исходной окружности. Тогда расстояние от данной точки до любой точки окружности 1.

Точно так же любое число точек. Хоть 2011, хоть 200000011.

Не убедительно. И кто такой R?