Теорема В.Бруна

[vorvalm]

В 1920 г. норвежский матаматик Виго Брун с помощью теории алгебраических чисел доказал, что при достаточно большом х и подходящем С, число простых близнецов, не превышающих х, равно
$\pi_2(x)\leqslant \frac{Cx}{(\ln x)^2}$ (оценка сверху), т.е. средняя плотность простых близнецов в натуральном ряду равна
$\frac {C}{(\ln x)^2}$. Это можно доказать элементарно, используя терминологию из темы "Бесконечность проcтых чисел-близнецов".
Отношение $\frac{\varphi_2(M)}{\varphi(M)}$ - средняя плотность близнецов среди вычетов ПСВ.
Отношение $\frac{\varphi(M)}{M}$ - средняя плотность вычетов в ПСВ.
Сравним эти отношения при $M\rightarrow\infty$
$\frac{\varphi_2(M)}{\varphi(M)}=\prod\frac{\varphi_2(p)}{\varphi(p)}=1\frac 1 2 \frac 3 4 \frac 5 6 \frac 9 {10} \frac {11}{12}.....$
и $\frac{\varphi(M)}{M}=\prod\frac{\varphi(p)}{p}=\frac 1 2 \frac 2 3 \frac 4 5 \frac 6 7 \frac{10}{11}\frac{12}{13}.....$
Оба отношения при $M\rightarrow\infty$ cтремятся к нулю, при этом $\frac {\varphi(M)}{M} < \frac{\varphi_2(M)}{\varphi(M)}$.
Если выделить первые члены этих отношений как коэффициенты, то $\frac{\varphi(M)}{M}>\frac{\varphi_2(M)}{\varphi(M)}$, следовательно
$\prod \frac{\varphi(p)}{p} \sim C_2\prod\frac{\varphi_2(p)}{\varphi(p)}$, где $0,5 < C_2 < 1$.
Берем произведение этих отношений $\frac{\varphi(M)}{M}\frac {\varphi_2(M)}{\varphi(M)}=\frac {\varphi_2(M)}{M}$.
Полученное выражение является средней плотностью близнецов среди всех чисел модуля М. По теореме Ф.Мертенса (середина 19 века)
$\prod_p \frac{\varphi(p)}{p} \sim \frac {A}{\ln x}$, следовательно $\frac{\varphi_2(M)}{M} \sim \frac C {(\ln x)^2}$, при $M(p_{r-1})\leqslant x \leqslant M(p_r)$

[vorvalm]

В.Брун дал формулу числа простых близнецов в натуральном ряду, но ограничил это число сверху, т.к. ограничение этого числа снизу означало бы доказательство бесконечности простых близнецов. Но он прекрасно понимал, что среднюю плотность близнецов нельзя распространять на бесконечность, т.к. неравномерность распределения простых близнецов в натуральном ряду в несколько раз превышает неравномерность распределения простых чисел.
Казалось бы, чего проще взять среднюю плотность близнецов в ПСВ $\frac{\varphi_2(M)}{M}$ и отнести ее к интервалу простых чисел $p^2_{r+1}-p_{r+1}=p_{r+1}(p_{r+1}-1)$.
Получим число близнецов, приходящееся на этот интервал $p_{r+1}(p_{r+1}-1)\frac{\varphi_2(M)}{M}$.
Очевидно, что при увеличении модуля М, число близнецов в интервале увеличивается. Вот и все! Ура!
Но это не так. Мы рассчитывали среднюю плотность близнецов в ПСВ, где перемешаны простые близнецы с "непростыми"(взаимно простые с модулем М). При небольших значениях модуля, которые мы можем реально получить даже с помощью компьютера, не дают полного представления о соотношении простых и непростых близнецов в ПСВ.
При $M\rightarrow\infty$ число непростых близнецов в ПСВ становится подавляющим и если все-таки число простых близнецов конечно, то средняя плотность будет представлять плотность непростых близнецов, хотя наша формула упорно будет показывать, что простые близнецы есть.
Поэтому среднюю плотность близнецов при $M\rightarrow\infty$ нельзя принимать в расчет при доказательстве бесконечности простых близнецов.

[vorvalm]

Хотя теорема Бруна и не решает вопроса о бесконечности простых близнецов, но косвенно эту теорему можно использовать для доказательства бесконечности простых близнецов совместно с теоремой Мертенса.
Если в теореме Бруна принять $x=M=\prod_2^p{p}$, то $\pi_2(M)\leqslant\frac{C_2}{(\ln M)^2}$ (постоянная $C_2$ отличается от $C$).
Отсюда $\frac{\pi_2(M)}{M}\sim \frac{C_2}{(\ln M)^2}\rightarrow 0$ при $M\rightarrow \infty$. По теореме Мертенса (доказано выше)
$\frac{\varphi_2(M)}{M} \sim \frac{A_2}{(\ln M)^2}\rightarrow 0$ при $M\rightarrow\infty$. Отсюда, предел отношения этих выражений равен:
$\lim\frac{\pi_2(M)}{\varphi_2(M)}=\frac{C_2}{A_2}$ при $M\rightarrow\infty$, т.е. среди близнецов ПСВ есть простые близнецы.

[vorvalm]

Я извиняюсь. В формуле Бруна пропущено число $M=x$. Формула должна быть такой:
$\pi_2(M)\leqslant\frac{C_2 M}{(\ln M)^2}$