Аппроксимация сплайнами с заданными условиями

[Destin]

Добрый день, уважаемые участники форума!

Существует следующее множество точек:

Мне необходимо аппроксимировать данное множество c помощью прямых линий и сплайнов таким образом, чтобы в точках сшивания кусков сохранялась непрерывность первой и второй производных.

По каждой из координат сплайны задаются параметрическим полиномом 5-й степени:
$x=C_0+C_1\cdot t+C_2\cdot t^2+C_3\cdot t^3+C_4\cdot t^4 +C_5\cdot t^5$
$y=D_0+D_1\cdot t+D_2\cdot t^2+D_3\cdot t^3+D_4\cdot t^4 +D_5\cdot t^5,$ где $t\in[0;1]$

Очевидно, что первые две точки соединяются горизонтальной прямой $y=0$

Вопрос: как будет выглядеть система линейных уравнений для вычисления коэффициентов следующего параметрического полинома?

(Подробнее)

В случае зависимости $y=f(x)$ я решаю систему линейных уравнений таким образом:

$A=\begin{pmatrix} 1 & \sum\limits_{k=0}^K x_k & \sum\limits_{k=0}^K x^2_k & \sum\limits_{k=0}^K x^3_k & \sum\limits_{k=0}^K x^4_k & \sum\limits_{k=0}^K x^5_k \\ \sum\limits_{k=0}^K x_k & \sum\limits_{k=0}^K x^2_k & \sum\limits_{k=0}^K x_k^3 & \sum\limits_{k=0}^K x^4_k & \sum\limits_{k=0}^K x^5_k & \sum\limits_{k=0}^K x^6_k \\ 1 & x_{start} & x^2_{start} & x^3_{start} & x^4_{start} & x^5_{start} \\ 0 & 1 & 2x_{start} & 3x^2_{start} & 4x^3_{start} & 5x^4_{start} \\ 0 & 0 & 2 & 6x_{start} & 12x^2_{start} & 20x^3_{start} \\ 1 & x_{end} & x^2_{end} & x^3_{end} & x^4_{end} & x^5_{end}\end{pmatrix} B=\begin{pmatrix} \sum\limits_{k=0}^K y_k \\ \sum\limits_{k=0}^K y_kx_k \\ y_{start} \\ y'_{start} \\ y''_{start} \\ y_{end} \end{pmatrix}$

Итоговая матрица коэффициентов: $C=A^{-1}\cdot B$

Здесь 1-я и 2-я строки матриц A и B определяют аппроксимацию (полиномиальную регрессию) методом наименьших квадратов, 3-я строка определяет начальную точку полинома, 4-я $-$ значение первой производной в начальной точке, 5-я $-$ значение 2-й производной в начальной точке, 6-я $-$ конечную точку полинома.

Как будет выглядеть система в случае если $x=f_1(t),$ а $y=f_2(t)$ при $t\in[0;1]?$ Причем замечу, что мне важна непрерывность до второй производной не конкретной координаты $x$ или $y,$ а именно сплайнов, которые задаются через эти полиномы?

[мат-ламер]

У Вас трудность в том, что не понятно, какому значению параметра $t$ соответствует каждая аппроксимируемая точка. Если бы такое соответствие было, то задача раскладывалась бы в две одномерные. Выходов два. Первый - самому придумать какой-нибудь простой алгоритм параметризации конечной системы точек, исходя из специфики задачи. Второй - поискать, что сделано на эту тему в специальной литературе.

[TOTAL]

Destin в сообщении #465766 писал(а):

По каждой из координат сплайны задаются параметрическим полиномом 5-й степени

Задавайте полиномом третьей степени. По каждой из координат стройте сплайн независимо. В качестве параметра возьмите длину кусочно линейного пути от точки к точке.