функциональный анализ(непрерывность функции)

[flower_fire]

Помогите пожалуйста ответь на вопросы!! javascript:emoticon(':(')

Пусть непрерывная F вещественнозначная функция, заданная на компакте X тогда F ограничена.

Верно ли это утверждение, если X ограниченное множество в полном метрическом пространстве?
А если X ограниченное замкнутое множество в полном метрическом пространстве?
А если Х ограниченное замкнутое множество в банаховом пространстве?

[незваный гость]

Ваше мнение?

Видите ли, из того что Вы написали задачу, совсем не видно Вашей работы. А мы помогаем Вам решить, и не хотим решать за Вас. Ну дам я Вам ответы на эти вопросы, дальше что? Чему это Вас научит?

[flower_fire]

я знаю что если пространсво конечномерно и полно то любое замкнутое и ограниченное множество является компактом и => это утверждение выполняется

Но о бесконечно мерных простарнства у меня нет соображений, я упорно читала книжки по функану но так и не разобралась

[незваный гость]

Давайте разберем первую задачу. Рассмотрите какой-нибудь пример, постепенно усложняя его по мере надобности. Но начинать стоит с самого простого пространства.

[Brukvalub]

В таких задачах трудно продвинуться, не имея коллекции примеров "экзотических" пространств. Вот один из таких примеров: метрическое пр-во - N - множество натуральных чисел. Метрика на нем:

\[ \rho (m,n) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0\;,\;m = n} \\ {1 + \frac{1}{{m + n}}\;,\;m \ne n} \\ \end{array}} \right.\quad \]

и положим

$$ f(n) = n $$

Докажите, что заданная на множестве N функция пары точек делает его полным метрическим прострвнством и ограниченным множеством (ну а замкнутость - очевидна) , функция

$$ f(n) = n $$

непрерывна и неограничена на нем. Этот пример ответит на два Ваших первых вопроса.

[Dan_Te]

flower_fire писал(а):

если пространсво конечномерно и полно

Если пространство конечномерно, то оно полно.

[flower_fire]

Спасибо всем за помощь !!
я уже разобралась

[незваный гость]

Я рад, что Вы разобрались. Но все-таки, ответ на первый вопрос не требует экзотических примеров. Достаточно рассмотреть открытое ограниченное множество, например интервал от 0 до 1 (и функцию $1/x$). Думаю, что Ваше внимание хотели обратить именно на это.

[RIP]

Хотя тема уже закрыта, но добавлю пару слов.
Пусть $X$ - метрическое пространство. Тогда следующие утверждения равносильны:
1) Любая непрерывная на $X$ функция ограничена;
2) $X$ компактно.