Совершенное число, большее 28, делится на 7 (найдите ошибку)

[Xenia1996]

Совершенное число, большее 28, делится на 7. Доказать, что оно делится на 49.

(Решение)

Все делители исходного числа n разбиваются на пары - с семёркой и без семёрки. Тогда сумма всех делителей, которые "без семёрки", равна $\frac{n}{4}$. Но сумма делителей "без семёрки" - это сумма всех делителей числа $\frac{n}{7}$, значит, отношение $\frac{n}{4}$ к числу $\frac{n}{7}$ равно 7:4, следовательно $4|\frac{n}{7}$, а значит n делится на 4. Но если n делится на 4, то имеет делители $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{4}$, сумма которых вместе с суммой делителей числа $\frac{n}{7}$ равна n. Стало быть, других делителей помимо 1, 2, 4 и 7 у числа n нет, сиречь, n=28, что противоречит условию.

[nnosipov]

Кажется, всё правильно. А если совершенное число делится на $2011$, то почему оно делится на $2011^2$?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #465417 писал(а):

Кажется, всё правильно. А если совершенное число делится на $2011$, то почему оно делится на $2011^2$?

А кто сказал, что не делится? Можете пример привести?

[nnosipov]

Да нет, конечно, оно делится на $2011^2$. Только мне показалось, что здесь объяснение немного другое. Или можно также, как и с семёркой рассуждать? Что-то не соображу (а точнее, лень соображать).

[phys]

(Оффтоп)

Ну вобще говоря это форум для людей которые хотят соображать, и если очень не получается, просят соображалку подкорректировать. Но чтоб лень...

[nnosipov]

Ксения, если я правильно понял идею Вашего решения (оно, кстати, совпадает с авторским решением этой задачи, которая была в финале XXVI Всероссийской), её не хватает для моего примера с числом $2011$. Прав я или нет?

[mihiv]

Доказав,что $n$ делится на 4,можно сослаться на тот факт,что четные совершенные числа имеют вид:$n=2^k(2^{k+1}-1)$,где $p=2^{k+1}-1$-простое число.2011 не является простым числом такого вида.

[nnosipov]

mihiv в сообщении #465711 писал(а):

Доказав,что $n$ делится на 4,можно сослаться на тот факт,что четные совершенные числа имеют вид:$n=2^k(2^{k+1}-1)$,где $p=2^{k+1}-1$-простое число.2011 не является простым числом такого вида.

Ровно это я и имел в виду. Проще, наверное, вряд ли выйдет.