Вычислить предел

[Лесной Дух]

Вычислить предел
Здравствуйте!
помогите пожалуйста:


$\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{{( - 1)^n }}{n}} \right)^{\frac{1}{{\sin \left( {\pi \sqrt {1 + n^2 } } \right)}}} \]$

В основном непонятно, что делать с синусом. Пробовал применить лопиталя, получается ноль, но с ответом не сходится.

[AKM]

Ужо два года служу на форуме, и Лопиталя здесь применяют только для случаев $\dfrac{f(x)}{g(x)}$. Что не есть, на первый взгляд, Ваш случай.

[Лесной Дух]

ну я прологарифмировал, то бишь рассматриваю предел:

$\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sin \left( {\pi \sqrt {1 + n^2 } } \right)}}\ln \left( {1 + \frac{{( - 1)^n }}{n}} \right) \]$

[Sonic86]

Лесной Дух в сообщении #465591 писал(а):

В основном непонятно, что делать с синусом. Пробовал применить лопиталя, получается ноль, но с ответом не сходится.

Нормальный прием: видно же, что $\sqrt{n^2+1} \approx n$, значит переделать $\sin (\pi \sqrt{n^2+1}) = \sin (\pi n + \pi ( \sqrt{n^2+1} - n))$, новую скобку преобразовать.

[Лесной Дух]

имеется ввиду:

$\[ \sin \left( {\pi n + \pi \sqrt {n^2 + 1} - \pi n} \right) = \left( { - 1} \right)^n \sin \left( {\pi \sqrt {n^2 + 1} - \pi n} \right) \]$

а теперь уже под синусом к нулю стремится:

$\[ \left( { - 1} \right)^n \sin \left( {\pi \sqrt {n^2 + 1} - \pi n} \right) \approx \left( { - 1} \right)^n \left( {\pi \sqrt {n^2 + 1} - \pi n} \right) \]$

правильно?
а дальше как?

[myra_panama]

Лесной Дух в сообщении #465654 писал(а):

а дальше как?

дальше вот так

Sonic86 в сообщении #465632 писал(а):

новую скобку преобразовать

[Лесной Дух]

$\[ \left( { - 1} \right)^n \left( {\pi \sqrt {n^2 + 1} - \pi n} \right) = \left( { - 1} \right)^n \cdot \left( {\pi n\sqrt {1 + \frac{1}{{n^2 }}} - \pi n} \right) = \left( { - 1} \right)^n \cdot \left( {\pi n\left( {1 + \frac{1}{{2n^2 }}} \right) - \pi n} \right) \]$

а потом:

$\[ \frac{{\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{n}}}{{\left( { - 1} \right)^n \cdot \frac{1}{2}\pi n\frac{1}{{n^2 }}}} = \frac{2}{\pi } \]$

еее, спасибо большое!

[Sonic86]

Вообще-то если Вы от корня переходите к эквивалентной бесконечно малой, то это еще надо уметь обосновать, поскольку бесконечно малая у Вас не в произведении, а в разности. Саму разность $\sqrt{n^2+1}-n$ можно точно несложно преобразовать так, что обоснования не понадобятся и разности не будет.

[Лесной Дух]

нет идей.
Это что-то может из формулы квадрата разности или суммы?

[myra_panama]

Лесной Дух в сообщении #465675 писал(а):

нет идей.
Это что-то может из формулы квадрата разности или суммы?

$\sqrt{n^2+1}-n=\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{(\sqrt{n^2+1}+n)}=\text{может так?}$

[Лесной Дух]

аа, так.. интересно