Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения

[farewe11]

Хорошо, что не успел наломать дров.
Ковариация равна $cov(\xi_1 \xi_2) = \lambda (p_1+p_3)(p_2+p_3) + \lambda p_3 - \lambda^2 (p_1+p_3)(p_2+p_3)$

[--mS--]

farewe11 в сообщении #465203 писал(а):

Хорошо, что не успел наломать дров.
Ковариация равна $cov(\xi_1 \xi_2) = \lambda (p_1+p_3)(p_2+p_3) + \lambda p_3 - \lambda^2 (p_1+p_3)(p_2+p_3)$

Да и в первом слагаемом наблюдается явная нехватка лямбд. Были бы Вы физиком, можно было бы попросить проверить размерность ответа... При первом дифференцировании по $z_1$ лямбда из показателя экспоненты вылезла, а при втором дифференцировании по $z_2$ не вылезла?

[farewe11]

Итак, все выглядит так:
Дисперсии величин:

$$D(\xi_1) = F_{\xi_1}''(1)+F_{\xi_1}'(1)=\lambda^2 (p_1+p_3)^2 + \lambda (p_1+p_3)$$

$$D(\xi_2) = \lambda^2 (p_2+p_3) + \lambda (p_2+p_3)$$

Ковариация:

$$cov(\xi_1 \xi_2) = M(\xi_1 \xi_2) - M(\xi_1) M(\xi_2) = \lambda^2 (p_1+p_3)(p_2+p_3) + \lambda p_3 - \lambda (p_1+p_3) \cdot \lambda (p_2+p_3)$$

Ходят слухи, что что-то тут неверно..

И новый вопрос поступил: какое же моё распределение? Равномерное, или нормальное, или ещё какое.. Нужно восстановить функцию распределения из производящей, чтобы ответить. Уже просканил Феллера и Вентцеля, чего-то там нет про это. Что делать?

[--mS--]

farewe11 в сообщении #465345 писал(а):

Ковариация:

$$cov(\xi_1 \xi_2) = M(\xi_1 \xi_2) - M(\xi_1) M(\xi_2) = \lambda^2 (p_1+p_3)(p_2+p_3) + \lambda p_3 - \lambda (p_1+p_3) \cdot \lambda (p_2+p_3)$$

Ходят слухи, что что-то тут неверно..

Приведите подобные.

farewe11 в сообщении #465345 писал(а):

И новый вопрос поступил: какое же моё распределение? Равномерное, или нормальное, или ещё какое.. Нужно восстановить функцию распределения из производящей, чтобы ответить. Уже просканил Феллера и Вентцеля, чего-то там нет про это. Что делать?

Послушайте, Вы не пробовали читать то, что Вам отвечают? В этой и предыдущей ветке уже столько раз объяснялось, и почему это не может быть никаким равномерным или нормальным распределением, и какое это распределение, и как найти его, что снова слышать те же самые вопросы очень странно.

[farewe11]

1.

_hum_ в сообщении #464002 писал(а):

Или всюду речь о производящей функции дискретного распределения? Если последнее, то тогда найти распределение не проблема - разложите в степенной ряд - коэффициенты и будут значениями вероятностей (см. определение производящей функции дискретного распределения).

Да, что-то пропустил я сообщение не от Вас, не доверился Если разложим производящие функции в ряд Тейлора, то полученные коэффиценты и будут вероятностями, верно?
Даже не буду спрашивать, почему.
А вот насчет типа этого распределения - всё же не поднималось темы. Хотя это и не важно, главное - найти распределение..

[--mS--]

farewe11 в сообщении #465563 писал(а):

А вот насчет типа этого распределения - всё же не поднималось темы. Хотя это и не важно, главное - найти распределение..

Двадцать раз поднималось.

alisa-lebovski в сообщении #459907 писал(а):

Производящие функции бывают от дискретных целочисленных величин.

Плюс предыдущая цитата, которую Вы только что привели. Плюс определение производящей функции - приведите-ка его, а то такое ощущение, что Вы исходите из каких-то заклинаний, с неба падающих. Хотя из определения всё видно.

[_hum_]

2--mS--
А не напомните, почему производящая функция определяется только для дискретных распределений?

[--mS--]

_hum_ в сообщении #465606 писал(а):

2--mS--
А не напомните, почему производящая функция определяется только для дискретных распределений?

Не для любых дискретных, а вообще для целочисленных. Очевидно, чтобы избежать многозначности степенной функции комплексного аргумента.

[_hum_]

Ясно. Спасибо.

[farewe11]

Я понял, о чем идёт речь. Отлично.
Сформулирую тот вопрос, ответ на который от меня требуют: от меня хотят не назвать вид распределения, а описать распределение. Буквально представить формулу $p(\xi_1=k) = ?$, то же самое для $\xi_2$. Как же это сделать? Ответ был тут озвучен: разложить в ряд Тейлора (по степеням $z$), и коэффиценты будут равны вероятностям.. То есть для $k$-го члена ряда Тейлора коэффицент в нем - это и будет вероятность $p(\xi_1=k) = ?$, так?

[--mS--]

Разумеется. По определению п.ф.

[farewe11]

Добрый день. Прошло 2 месяца с тех пор, как я решал эти задачи, но, к сожалению, решил их слишком поздно и меня оставили на осень. Теперь пришла пора их сдавать, и я тут посмотрел свои решения, возникли некоторые вопросы. Думаю, будет уместно, если я напишу сейчас условия этих 2х задачек и свои решения к ним, и буду ждать любой критики.
Задача 1: Задана производящая функция совместного распределения двух величин $\xi_1$ и $\xi_2$. Она выглядит так:

$$F_{\xi_1, \xi_2} (z) = e^{\lambda(p_1z_1+p_2z_2+p_1z_1z_2-1)}$$

Где $p_1+p_2+p_3=1$. Найти одномерные распределения этих величин, их математические ожидания и дисперсии.
Решение: Найдем одномерные производящие функции для $\xi_1$ и $\xi_2$, она равны:

$$F_{\xi_1}(z) = e^{\lambda(p_1z_1+p_2+p_3z_1-1)}$$

$$F_{\xi_2}(z) = e^{\lambda(p_1+p_2z_2+p_3z_2-1)}$$

Матожидания этих величин равняются производным от их производящих функций и равны $\lambda(p_1+p_3)$ и $\lambda(p_2+p_3)$
Дисперсии найдем по формуле $D(\xi_1) = F''_{\xi_1} (1) + F'_{\xi_1} (1) - F'_{\xi_1} (1) ^2$, они получатся равными матожиданиям. Следовательно, это распределение Пуассона (по свойству).
Вопрос: как раньше, так и сейчас я не могу сделать то, о чем идет речь парой сообщений выше: разложить производящую функцию в ряд Тейлора. Неужели просто по формуле

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

?
(а нужно это делать для того, чтобы описать распределение)

[ИСН]

$F_{\xi_1, \xi_2} (\colorbox{red}{z}) = e^{\lambda(p_1z_1+p_2z_2+p_1z_1z_2-1)}$

[farewe11]

Так выглядит условие, что ж поделать. Под одной $z$ подразумевается $z_1, z_2$. Хотя спасибо за ценное замечание и за тонкую иронию - очень помогло.

[--mS--]

farewe11 в сообщении #481109 писал(а):

Так выглядит условие, что ж поделать. Под одной $z$ подразумевается $z_1, z_2$.

В одномерных п.ф. тоже "под одной $z$ подразумевается $z_1, z_2$"?

farewe11 в сообщении #481053 писал(а):

Дисперсии найдем по формуле $D(\xi_1) = F''_{\xi_1} (1) + F'_{\xi_1} (1) - F'_{\xi_1} (1) ^2$, они получатся равными матожиданиям. Следовательно, это распределение Пуассона (по свойству).

А, например, нормальное распределение с матожиданием 1 и дисперсией 1 тоже будет распределением Пуассона? По тому же свойству...

Да, нужно разлагать. Но, вообще-то, ряд Тейлора для экспоненты не сейчас следует получать впервые, а ранее Вами полученный использовать ;).
Напишите сюда, как выглядит готовое разложение в ряд Тейлора функции $e^x$. И приведите уже подобные в показателе экспоненты в одномерных п.ф. - мальчики налево, девочки направо.

Как вариант, можно попробовать п.ф. произвольного распределения Пуассона найти. И сравнить.