оценка аппроксимации рядами Фурье

[eugrita]

В связи с тем что пишу анимационную программу, изображающую бегущую волну для уравнения колебаний струны -
Как оценить скорость сходимости ряда Фурье а)в этом разложении б)в общем случае при решении уравнений математической физики методом разделения переменных.
Вроде сходимость рядов Фурье - равномерная
Конкретно, сколько членов разложения взять, чтобы норма отклонения (мах отклонение) точного решения и конечной аппроксимации была скажем не более 1% ?
Не знаю, будет ли там еще и эффект Гиббса?

[ewert]

eugrita в сообщении #462945 писал(а):

Вроде сходимость рядов Фурье - равномерная

Если раскладываемая функция непрерывна.

eugrita в сообщении #462945 писал(а):

Не знаю, будет ли там еще и эффект Гиббса?

Будет тогда и только тогда, когда раскладываемая функция разрывна.

eugrita в сообщении #462945 писал(а):

Конкретно, сколько членов разложения взять, чтобы норма отклонения (мах отклонение) точного решения и конечной аппроксимации была скажем не более 1% ?

Проще всего -- по правилу Рунге. Последовательно удваивать количество членов, пока модуль суммы очередного добавляемого участка не окажется достаточно мал. Это будет хорошей оценкой достигнутой точности. Но, естественно, только если функция непрерывна -- иначе равномерная погрешность сходиться к нулю просто не будет.

[AD]

ewert в сообщении #463059 писал(а):

eugrita в сообщении #462945 писал(а):

Вроде сходимость рядов Фурье - равномерная

Если раскладываемая функция непрерывна.

Как-то этого мало. Непрерывные функции с расходящимися в отдельных точках рядами Фурье бывают. Или тут о чем-то другом речь?

[ewert]

AD в сообщении #463199 писал(а):

Как-то этого мало. Непрерывные функции с расходящимися в отдельных точках рядами Фурье бывают.

Бывают. Но в чисто расчётной задачке это такая экзотика, что можно не обращать внимания. Этого просто не может встретиться.

[eugrita]

да , согласны ли со следующим соображением:
Конечно решение уравн колебаний струны можно рассматривать и с т.зр. суммы 2 бегущих волн (Даламбер) и с т.зр стоящих волн (Фурье).
Мне важно понять ,может ли в результате компьютерной анимации возможно по достаточно большому числу гармоник или модам колебаний получить зрительную иллюзию если не бегущей, то хотя бы качающейся волны (перемещающийся максимум).

[Vince Diesel]

А зачем вообще возиться с Фурье, если есть возможность воспользоваться формулой Даламбера? Там же все гораздо проще и считать меньше.

[eugrita]

Да, пожалуй вы правы для этой задачи.
А можете ли привести пример одномерной волновой задачи, (т.е где не волновое уравнение, а что-то еще), игде метод Даламбера не проходит и разложение по гармоникам - основное.

[Vince Diesel]

Так я не понял, какая задача до этого обсуждалась Для волнового уравнения и задача на отрезке подойдет. И для неволнового (гиперболического с переменными коэффициентами) тоже.

[eugrita]

Обсуждалась задача колебания натянутой струны. Модель задается волновым уравнением. Я хотел построить компьютерную анимацию методом Фурье. Пока увяз в гармониках. Метод Даламбера для компьютерной анимации кажется действительно проще. Но если уж заниматься анимацией, интересно визуально посмотреть и другие волны, не сводящееся к сумме прямой и отраженной. И хочу понять такие задачи, где метод собирания волны по гармоникам является основным или даже единственным

[Vince Diesel]

А оно таки сводится. Любые волны можно получить, если задавать непериодические функции в формуле Даламбера.

[eugrita]

Вот. Все же получил методом Даламбера




1)меня еще что смущает. У нас струна ограниченная, закрепленная на концах.
Так эти Даламберовские волны
$ U(x,t)=\frac {\phi(x-at)+\phi(x+at)} {2} $
должны распостраняться без отражения от концов?

2)Хотелось бы иметь математически наиболее общее понятие волны, в частности, одномерной - каким условиям должна удовлетворять функция f(x,t)? Только лишь быть решением волнового уравнения вида (2) или что-то возможно иное?

[Vince Diesel]

В формуле Даламбера две функции. И нужно их подбирать, чтобы получалось так, как будто волна отражается на концах. В более простом случае полуограниченной струны, например, надо просто нечетно продолжить начальные данные.

[eugrita]

Да, вот еще момент (задача механики).
Допустим в точке с координатой Xo приложена сосредоточенная сила F
как найти прогиб струны? (статический расчет)

[Vince Diesel]

Если изначально уравнение струны было, $u_{tt}-a^2 u_{xx}=f$, то для стационарного случая получится задача $-a^2 u_{xx}=F\delta(x_0)$, $u(0)=u(l)=0$. Слева и справа от $x_0$ функция $u$ будет линейной.

[eugrita]

Вот что удалось надыбать.Натяжение струны одинаково во всех точках.
связь натяжения струны с удлинением T=k\Delta L
вроде при малых отклонениях h<<L
из треугольника сил T,T направленных вдоль участков нити (углы a,b с исходной осью струны)
при a,b \sim 90.... cosa=cosb \sim 1
получаем что T=0.5P
\Delta L=\frac {0.5P} {k} и далее из \Delta L=\Delta L_1+\Delta L_2= \frac {h^2L} {x_0(L-x_0)}
находим прогиб h.

Правда все формулы какие-то сомнительно-приближенные. Можно ли ими пользоваться для расчета начальных отклонений струны?
да еще как k выразить через характеристики струны - сечение, плотность, модуль упругости?