две задачи на вероятность (случайный выбор писем, комб-ка)

[tess]

Две задачи на вероятность.
1. На столе в комнате лежат 5 писем, адресованных пяти различным людям. Эти 5 человек заходят в комнату, и каждый из них случайным образом берёт одно письмо. Какова вероятность, что:
а) Только один (два, три, четыре, пять) из них воэьмёт (воэьмут) своё письмо?
b) Никто из них не возьмёт своё письмо?
Ответы:
a) $\frac{3}{8}, \frac{1}{6}. \frac{1}{12}.0, \frac{1}{120}$,
b) $\frac{11}{30}$
Каков наиболее простой путь решения такого типа задач и как обобщить решение на $n$ человек?

2. Найдите число шестизначных чисел, которые имеют ровно четыре различные цифры (например, 111234 или 557009).
Решение легко найти, если рассмотреть два возможных случая:
одна из различных цифр повторяется трижды (например, 555678)
и две цифры иэ четырёх различных повторяются дважды (например, 990012).
Поскольку надо исключить числа, начинающиеся с 0, окончательный ответ гласит:
294840 чисел.
Однако это решение не позволяет получить ответ в общем виде для чисел с любым числом знаков и любым числом различных цифр.
Кто может подсказать?

[VAL]

tess в сообщении #465074 писал(а):

Две задачи на вероятность.
1. На столе в комнате лежат 5 писем, адресованных пяти различным людям. Эти 5 человек заходят в комнату, и каждый из них случайным образом берёт одно письмо. Какова вероятность, что:
а) Только один (два, три, четыре, пять) из них воэьмёт (воэьмут) своё письмо?
b) Никто из них не возьмёт своё письмо?
Ответы:
a) $\frac{3}{8}, \frac{1}{6}. \frac{1}{12}.0, \frac{1}{120}$,
b) $\frac{11}{30}$
Каков наиболее простой путь решения такого типа задач и как обобщить решение на $n$ человек?

Почитайте про беспорядки. Например, Грэхем, Кнут, Паташник "Конкретная математика".

[purser]

Каждый выбор писем людьми это есть подстановка. Для 5 писем количество подстановок - 5!=120. То есть существует 120
возможностей для выбора. Рассмотрим вариант "б) Никто из них не возьмет свое письмо". Такие варианты соответствуют подстановкам,
в которых обе строки не совпадают ни по одной позиции, например, |1 2 3 4 5|
|2 3 1 5 4|
Нужно подсчитать кол-во этих подстановок.
У нас есть 120 подстановок и есть 5 свойств, которыми подстановки могут обладать. Свойства соответствуют количеству позиций,
в которых обе строки совпадают. Например, свойство P1 - "в подстановке совпадение только по одной позиции"...P5 - "в подстановке
совпадение по пяти позициям" (очевидно, такая подстановка только одна). Нас интересуют подстановки, не обладающие ни одним из свойств.

По формуле включения-исключения имеем:
120-5*4!+10*3!-10*2!+5*1!-1= 120-120+60-20+5-1=44

Соответственно, шансов всем получить чужие письма 44 из 120 , или 11/30

[tess]

В теме «Не читайте чужие письма» была задача:
Найдите число шестизначных чисел, которые имеют ровно четыре различные цифры (например, 111234 или 557009).
Решение легко найти, если рассмотреть два возможных случая:
а) одна из различных цифр повторяется трижды (например, 555678),
б) две цифры иэ четырёх различных повторяются дважды (например, 990012).
Поскольку надо исключить числа, начинающиеся с 0, окончательный ответ гласит:
294840 чисел.
Однако это решение не позволяет получить ответ в общем виде для m-значного числа и n различных цифр.
Никто не заинтересовался поиском, а формула оказалось простой и красивой:

$$\frac{9}{10}\sum\limits _{i=0}^{n}(-1)^iC_{10}^nC_n^i(n-i)^m$$

Возможно, формула пригодится и в другом месте.
Впереди выходные, и для повышения тонуса попробуйте решить две задачки.
1. В ящике лежат 2 шара, это либо 2 белых, либо 2 чёрных, либо белый и чёрный. Поскольку ситуация симметричная, то вероятность достать белый (чёрный) шар равна 1/2. Опускаем в ящик третий шар, белый.
Далее достаём из ящика случайным образом один шар, который оказывается белым.
Какова вероятность достать во второй раз белый шар?
2, Бросают два игральных кубика. Сумма выпавших очков может меняться от 2 до 12. При этом каждая сумма имеет своё число вариантов её выпадения (от одного варианта для 2 и 12 очков до шести вариантов для 7 очков).
Приведите формулу для числа вариантов в зависимости от суммы выпавших очков $n$. При этом формула должна иметь «защиту от дурака», т.е. если в качестве суммы очков вводится невозможное число, ответ должен гласить 0.

PAV:

Темы объединены