Является ли борелевской функцией 1/х

[ShMaxG]

Борелевская сигма-алгебра -- минимальная сигма-алгебра, порожденная всеми интервалами вида $\[\left[ {a,b} \right)\]$ на числовой оси. Борелевское множество -- элемент борелевской сигма-алгебры.
Функция называется борелевской, если прообраз любого борелевского множества является борелевским множеством.

Является ли функция $\[y = \frac{1}{x}\]$ борелевской? Интервалы, не содержащие ноль, при обратном преобразовании переходят в интервалы. Ноль при обратном преобразовании переходит в пустое множество. Интервалы, содержащие ноль, переходят в соответствующие бесконечные интервалы.

Подскажите пожалуйста, все верно?

[ShMaxG]

Ну, вроде да. Но вопрос, скорее, даже не в этом.

Пусть $X$ -- случайная величина. Раз $1/x$ -- борелевская функция, то $1/X$ -- тоже случайная величина. Меня интересует, все ли здесь корректно, особенно, когда либо существует ненулевая вероятность равенства нулю реализации $X$, либо вероятность, что $X=0$ равна нулю, но $X$ распределена вблизи нуля.

[_hum_]

Ну, вы же изначально не совсем корректно функцию, не определенную в нуле, начали рассматривать на всей действительной оси - вот и начались эти заморочки. Доопределете ее (или сузьте исходное пространство), и все должно встать на свои места.

[ShMaxG]

Ага... Верно ли, что если сузить исходное пространство до всей числовой прямой, кроме нуля, то и на вход этой функции я должен подавать случайные величины, которые (и только которые) в множестве своих значений нуля не содержат?

[ewert]

Не обязательно -- достаточно того, чтобы прообраз нуля тех функций имел нулевую меру. Т.е. чтобы навешивание на них гиперболы порождало бы функцию, определённую почти всюду.

[_hum_]

Ну, если подходить строго математически, то обязательно. Другое дело, что в тер. вер. мат. моделях, как правило, можно, не ограничивая общности, одну случайную величину заменять другой, если вероятность несовпадения их значений нулевая.

[ShMaxG]

Если прообраз нуля не имеет нулевую меру (т.е. если вероятность $X=0$ равно $p \ne 0$), то тогда не удастся корректно определить вероятностную меру на борелевской сигма-алгебре на числовой прямой без нуля? Вероятность попадания на все такое множество не будет равно 1, а будет $1-p$.

[_hum_]

Вы бы писали поаккуратнее, а то смешали все в кучу.
Если у вас с.в. X принимает значение нуль с ненулевой вероятностью, то 1/X автоматически становится несобственной случайной величиной (принимающей бесконечные значения), которую, к тому же нельзя заменить эквивалентной (совпадающей с ней с вероятностью 1) собственной случайной величиной.

[ewert]

_hum_ в сообщении #465112 писал(а):

тер. вер. мат. моделях, как правило, можно, не ограничивая общности, одну случайную величину заменять другой, если вероятность несовпадения их значений нулевая.

тер.вер. как таковой тут не при чём: измеримые функции вообще всегда определены лишь с точностью до множеств меры ноль. А случайная величина -- это по определению измеримая функция, заданная на пространстве событий.

[_hum_]

ewert в сообщении #465123 писал(а):

_hum_ в сообщении #465112 писал(а):

тер. вер. мат. моделях, как правило, можно, не ограничивая общности, одну случайную величину заменять другой, если вероятность несовпадения их значений нулевая.

тер.вер. как таковой тут не при чём: измеримые функции вообще всегда определены лишь с точностью до множеств меры ноль. А случайная величина -- это по определению измеримая функция, заданная на пространстве событий.

Смею не согласиться. Измеримость функции никак не предполагает наличия меры (а требует лишь структуры измеримого пространства).

[ewert]

_hum_ в сообщении #465127 писал(а):

Измеримость функции никак не предполагает наличия меры (а требует лишь структуры измеримого пространства).

Теоретически да. Практически же: во-первых, если нет меры, то нельзя говорить и о множествах меры ноль. А во-вторых: если мера всё-таки есть, то соотв. пары измеримых функций всегда и везде считаются эквивалентными. Да и кому нужна измеримость без меры.

[_hum_]

ewert в сообщении #465131 писал(а):

_hum_ в сообщении #465127 писал(а):

Измеримость функции никак не предполагает наличия меры (а требует лишь структуры измеримого пространства).

Теоретически да. Практически же: во-первых, если нет меры, то нельзя говорить и о множествах меры ноль. А во-вторых: если мера всё-таки есть, то соотв. пары измеримых функций всегда и везде считаются эквивалентными. Да и кому нужна измеримость без меры.

Если мера фиксирована, то да, можно смотреть на измеримые функции как на классы эквивалентности по мере. Но в тер. вере как раз-таки чаще встречается другая ситуация - когда измеримое пространство одно (та же прямая с борелевской алгеброй), а мер на нем может быть много (распределений разных случайных величин). Тогда уже удобнее измеримые функции (борелевские) рассматривать независимо от мер (именно как функции, а не как классы эквивалентности).

[ShMaxG]

_hum_ в сообщении #465117 писал(а):

Вы бы писали поаккуратнее, а то смешали все в кучу.

Попробую еще раз.

Пусть $X$ -- случайная величина.

Пусть $\[f:\left( {X_1,{B_1}} \right) \to \left( {X_2,{B_2}} \right)\]$. При этом $\[X_1 = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\] $, а $\[X_2\]$ -- либо $\[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]$, либо $\[\mathbb{R}\]$ (это не важно). $B_1$ и $B_2$ -- борелевские сигма-алгебры в соотв. пространствах. $f(x) = 1 / x$.

$f(x)$ - борелевская функция.

Величина $f(X)$ является случайной величиной, так как $\{\omega: f(x(\omega)) \in B_2\} = \{\omega: x(\omega) \in B_1\} \in F$. Если я возьму произвольный элемент сигма-алгебры $\[{{B_2}}\]$, то его прообраз будет лежать в сигма-алгебре $\[{{B_1}}\]$, который нуля содержать не может. Таким образом получается, что $f(X)$ - случайная величина вне зависимости от того, принимает ли $X$ нулевое значение или нет... Или это пока не доказывает случайность величины $f(X)$? Прообраз любого элемента борелевской сигма-алгебры лежит в сигма-алгебре исходного вероятностного пространства случайной величины $X$.

[_hum_]

А дело в том, что если у вас функция $f = f(x)$ определена только на $\mathbb{R}\backslash \{0\}$, а с.в. $X = X(\omega)$ может принимать нулевое значение, то композиция $Y(\omega) = f(X(\omega))$ не определена на исходе $\omega$, для которого $X(\omega) = 0$, а потому некорректна.

[ShMaxG]

И даже, если вероятность таких исходов равна нулю, все равно композиция некорректна?

-- Пн июл 04, 2011 19:45:28 --

Или так: в случае, если вероятность таких исходов равна нулю, то данную случайную величину следует заменить другой, которая не содержит эти исходы, но совпадающая с данной почти всюду?