Вы бы писали поаккуратнее, а то смешали все в кучу.
Попробую еще раз.
Пусть

-- случайная величина.
Пусть
![$\[f:\left( {X_1,{B_1}} \right) \to \left( {X_2,{B_2}} \right)\]$ $\[f:\left( {X_1,{B_1}} \right) \to \left( {X_2,{B_2}} \right)\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/3/f538be8ee600ea3a4ee74f237506f2f582.png)
. При этом
![$\[X_1 = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]
$ $\[X_1 = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/7/c9722e09939f0c9f4f5899dd6b32590c82.png)
, а
![$\[X_2\]$ $\[X_2\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/4/7a47c9115cba1599a2c1bb4c58449c4682.png)
-- либо
![$\[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]$ $\[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/1/a411be640f3b4a0df4bcdccd8dde65c282.png)
, либо
![$\[\mathbb{R}\]$ $\[\mathbb{R}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/c/3bc106d5da6ba9b641d93e5c7b9136c182.png)
(это не важно).

и

-- борелевские сигма-алгебры в соотв. пространствах.

.

- борелевская функция.
Величина

является случайной величиной, так как

. Если я возьму произвольный элемент сигма-алгебры
![$\[{{B_2}}\]$ $\[{{B_2}}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/6/e16b7086be645a3e534547e940f18b3e82.png)
, то его прообраз будет лежать в сигма-алгебре
![$\[{{B_1}}\]$ $\[{{B_1}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/0/3e015eee305e800c63809ca39217142782.png)
, который нуля содержать не может. Таким образом получается, что

- случайная величина вне зависимости от того, принимает ли

нулевое значение или нет... Или это пока не доказывает случайность величины

? Прообраз любого элемента борелевской сигма-алгебры лежит в сигма-алгебре исходного вероятностного пространства случайной величины

.