2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 идеал в кольце функций, непрерывных на отрезке
Сообщение11.12.2005, 09:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9592
Кентакска волост
Дано кольцо R = C[0,1] т.е. функций, непрервных на единичном отрезке.
В этом кольце множество функций, равных нулю в точке 1/4, образует идеал I.
I={f из R | f(1/4) =0 }
Доказать, что этот идеал не является главным и вообще не конечно-порожденным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 13:34 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
Допустим
I=(g)-главный идеал, порождённый функцией g, g(1/4)=0. Это значит, что любая функция f из I представима в виде f=hg, где h-непрерывная на отрезке [0,1] функция.Отсюда получаем f=O(g), на [0,1]
Но для функции f=|g|^(1/2) (корень из модуля g) в окрестности точки 1/4 такая оценка не имеет места.

Для случая I=(g1,...,gn) возьмём функцию f=|g1|^(1/2)+...+|gn|^(1/2).

 Профиль  
                  
 
 Для случая I=(g1,...,gn) возьмём функцию f=|g1|^(1/2)+...+|g
Сообщение13.12.2005, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9592
Кентакска волост
Цитата:
Это значит, что любая функция f из I представима в виде f=hg, где h-непрерывная на отрезке [0,1] функция.Отсюда получаем f=O(g), на [0,1]
Но для функции f=|g|^(1/2) (корень из модуля g) в окрестности точки 1/4 такая оценка не имеет места.
Для случая I=(g1,...,gn) возьмём функцию f=|g1|^(1/2)+...+|gn|^(1/2).


Спасибо за подсказку, но данное решение уже было предложено преподавателю, и случай с главным идеалом был оценен как верный. Тем не менее, для функции

$ \ f(x)=\sqrt|\ g_1| + \sqrt|\ g_2| +... \sqrt|\ g_n| $

возникли затруднения с аналогичной оценкой сомножителей

$ \ h_1 ,  \ h_2 ,... \ h_n $

Проблема в том, что в случае с несколькими порождающими, последние (порождающие) могут иметь множественные нули вблизи (1/4), с условием чтобы они не совпадали у всех одновременно. Ну, кроме точки (1/4) разумеется.

P.S. Для единственной порождающей есть еще решение -

$ \ f(x)=   { |\ g| , x < (1/4)} $
$          f(x)=       { \ g , x > (1/4)} $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 17:10 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
:) Лень было возиться с оценками. Сейчас уточню.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.12.2005, 19:36 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
Покажем, что функцию f=sqrt|g_1|+...+sqrt|g_n|
нельзя представить в виде f=h_1*g_1+...h_n*g_n.

Если бы f=h_1*g_1+...h_n*g_n, то |f|<=M(|g_1|+..|g_n|) на [0,1].

Заметим, что |g_1|+...+|g_n|=/=0 при x=/=1/4 (как Вы и отметили).

|f|/(|g_1|+...+|g_n|)=(sqrt|g_1|+...+sqrt|g_n|)/(|g_1|+...+|g_n|)>=sqrt(max|g_k|)/(n*max|g_k|)=
1/(n*sqrt(max|g_k|))->infinity при x->1/4,

что противоречит |f|<=M(|g_1|+..|g_n|).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2005, 08:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9592
Кентакска волост
Кажется убедительным. Посмотрим что скажет профессура.

Спасибо Ж8)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group