Сходится ли ряд ?

[myra_panama]

Сходится ли ряд:
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}n^{-1-(\ln(\ln n))^{-2}}$ ?

[ИСН]

Основательно повозившись, эту штуку можно сравнить с рядом $\sum{1\over n\ln^2n}$, который - - -

[alcoholist]

А может увидеть монотонность и интегральным признаком... используя то, что

$$ \frac{t}{(\ln t)^2}>\sqrt{t} $$

для достаточно больших $t$?

[myra_panama]

ИСН в сообщении #464307 писал(а):

эту штуку можно сравнить с рядом $\sum{1\over n\ln^2n}$, который - - -

Сходится по моему , так как :

$\sum^{N} ...\sim\int^{N}\frac {1}{n^{1 + \frac {1}{(\ln\ln n)^{2} }}}dn\sim\frac {1}{N^{1/(\ln \ln N )^{2}}}\int^{N}\frac {1}{n}\sim \frac{\ln N}{N^{1/(\ln \ln N )^{2}}} \to 0$

когда $n \to +\infty$

[ewert]

$\int\limits^{+\infty}\dfrac{dn}{n^{1+\ln^{-2}(\ln n)}}=\Big[\ln n=x,\ n=e^x\Big]=\int\limits^{+\infty}\dfrac{dx}{e^{x\cdot\ln^{-2}x}}<\int\limits^{+\infty}\dfrac{dx}{e^{\sqrt x}}<+\infty.$

С чем действительно придётся, формально говоря, немножко повозиться, так это с доказательством монотонности.

[alcoholist]

ewert в сообщении #464612 писал(а):

$\int\limits^{+\infty}\dfrac{dn}{n^{1+\ln^{-2}(\ln n)}}=\Big[\ln n=x,\ n=e^x\Big]=\int\limits^{+\infty}\dfrac{dx}{e^{x\cdot\ln^{-2}x}}<\int\limits^{+\infty}\dfrac{dx}{e^{\sqrt x}}<+\infty.$

Спасибо за формулу)))

ewert в сообщении #464612 писал(а):

С чем действительно придётся, формально говоря, немножко повозиться, так это с доказательством монотонности

Да, производные даются с трудом:
в силу монотонности логарифма и экспоненты достаточно показать положительность производной функции $x+x/(\ln x)^2$ при больших $x$

[ewert]

alcoholist в сообщении #464651 писал(а):

достаточно показать положительность производной функции $x+x/(\ln x)^2$ при больших $x$

, что очевидно -- достаточно производную последнего выражения просто явно выписать. Не вполне очевидным шагом может показаться логарифмирование именно в этом месте (для интеграла-то замена бросается в глаза).