Покрашенные точки

[Xenia1996]

Для каких натуральных n можно покрасить часть точек плоскости так, чтобы на любой окружности единичного радиуса было ровно n покрашенных точек?

[alcoholist]

"на", или "внутри"?

[Jony]

для всех четных

[ИСН]

с чётными понятно. тюрьма мой дом, небо в полосочку.
с нечётными не очень.
рассмотрим 1.
вот покрашенная точка.
вот через ней провели все окружности - этакая ромашка - и во всей этой штуке другой покрашенной точки нет.
а сразу за границей они должны начинаться, потому что иначе как быть окружностям, которые чуть-чуть не дотягиваются до той, первой точки.
но тогда две из них легко можно прихлопнуть одной окружностью.

[Equinoxe]

ИСН, из существования для единички сущестовавание для всех остальных следует (дорисовать полосатое небо), но вот следует ли обратное?

[ИСН]

Я и говорю: не очень понятно.

[Equinoxe]

ИСН, кстати, с единичкой можно немного проще. Просто заметить, что на окружности радиуса 1 (если за центр брать ту точку) не должно быть ни одной точки

[ИСН]

А, да, действительно.

[Jony]

для одной точки можно опровергнуть- повращаем эту окружность относительно этой точки, в получившемся круге не должно быть никаких точек-теперь сдвинем эту окружность на маленькое расстояние впереде - в образовавшейся маленькой дужке должна быть одна точка
сдвинем еще немножко, в другой образовавшейся дужке(которая снаружи безточечного круга) должна быть одна точка
мы видим, что две точки расположены рядом-и значит можно на них ' надеть" нашу окружность-противоречие
значит для одной точки нельзя

[ИСН]

это называется "заклятье невидимости" (или нечитаемости). со мной бывает.

[Lunatik]

Jony в сообщении #464400 писал(а):

для одной точки можно опровергнуть- повращаем эту окружность относительно этой точки, в получившемся круге не должно быть никаких точек-теперь сдвинем эту окружность на маленькое расстояние впереде - в образовавшейся маленькой дужке должна быть одна точка
сдвинем еще немножко, в другой образовавшейся дужке(которая снаружи безточечного круга) должна быть одна точка
мы видим, что две точки расположены рядом-и значит можно на них ' надеть" нашу окружность-противоречие
значит для одной точки нельзя

А чего мы вдруг об одной точке говорим? Ясно же, что если окружность касается только одной точки, то точек не должно быть на всей окружности с центром в этой точке и с радиусом 2 (а в ней разместить окружность с единичным радиусом просто, хотя бы как Equinoxe предложила)... а что насчёт других нечётных?