Встретилось такое упражнение, что-то никак не могу его сделать:
Пусть

- комплексное линейное пространство и на нём задана топология. Пусть существует множество

, которое удовлетворяет следующим свойствам:
1)

является выпуклым, уравновешенным (т.е. для всех

,

из того, что

следует, что

) и поглощающим (т.е. для любого

найдётся

, что

).
2)совокупность множеств

,

,

, образует базу топологии.
Требуется доказать, что существует преднорма, которая порождает заданную топологию. При этом в качестве преднормы предлагается использовать калибровочную функцию Минковского

.
Поскольку множество

выпукло, уравновешенно и поглощающе, то легко проверяется, что калибровочная функция Минковского - это преднорма. То, что топология порождённая функцией Минковского не сильнее исходной топологии, следует из включения

, а вот то, что исходная топология не сильнее топологии порождённой функцией Минковского доказать не удаётся.
Есть такая идея. Если для любого

множество

открыто, то нетрудно показать, что

, т.е. множество

совпадает с открытым единичным шаром, а тогда очевидно, что все множества

открыты в топологии, порождённой функцией Минковского, из чего и следует требуемое утверждение.
Но мне не удаётся доказать, что множества

открыты (поэтому возникает вопрос - верно ли это?).
Буду рад любым подсказкам.