Функция "кватернионного" переменного.

[Morkonwen]

Извините спрашиваю как несведующий в кватернионах человек. Поскольку к связи двумерной электростатики и функции комплексного переменного я весьма привык хочу спросить разве не возможно обобщение электростатики на трехмерный случай но с помощью уже не комплексных чисел, а кватернионов? Вроде те же векторные и скалярные умножения...

[Vince Diesel]

Собственно, Гамильтон и ввел названия скалярное и векторное произведение - это части произведения кватернионов. А поскольку кватернионы имеют прямое отношение к группе вращений, то и физические формулы можно через них записывать. Вот обзор Doing Physics with Quaternions.

[Kallikanzarid]

Morkonwen
В этом нет особого смысла, функции кватернионного переменного не обладают такими хорошими свойстами, как функции комплексного переменного, да и лишнее измерение будет мешать, придется работать чисто мнимыми кватернионами, и т. д.

Достаточно использовать теорию представлений там, где это необходимо.

[Bulinator]

Проблема в том, что деление определено неоднозначно. Т.е. если $X,Y\in \mathbb{H}$, можно определить
$\left(\frac{X}{Y}\right)_L=Y^{-1}X$ и $\left(\frac{X}{Y}\right)_R=XY^{-1}$. Так что и дифференцировать можно двумя разными способами.

[мат-ламер]

Bulinator в сообщении #463677 писал(а):

Проблема в том, что деление определено неоднозначно. Т.е. если $X,Y\in \mathbb{H}$, можно определить
$\left(\frac{X}{Y}\right)_L=Y^{-1}X$ и $\left(\frac{X}{Y}\right)_R=XY^{-1}$. Так что и дифференцировать можно двумя разными способами.

Можно подумать, что два трёхмерных вектора можно разделить друг на друга. Изложение Максвелловской теории электромагнетизма первоначально было дано на языке кватернионов (которые были тогда в моде). От тех времён остались обозначения для координатных осей как $i,j,k$. С тех пор мода поменялась.

[Morkonwen]

Спасибо за ответы! Я подозревал, что просто это не оправдывает своего применения.

(Оффтоп)

Bulinator
А чем вам стат физика не угодила

[Bulinator]

мат-ламер в сообщении #463782 писал(а):

Можно подумать, что два трёхмерных вектора можно разделить друг на друга

В принципе и слона за руль запорожца не посадить... А к чему это?

(Оффтоп)

Morkonwen в сообщении #463784 писал(а):

Bulinator
А чем вам стат физика не угодила

Она не фундаментальна, после чтения возникает ощущение легкого обмана. И вообще, я в ней не разбираюсь :))))

[мат-ламер]

Bulinator в сообщении #463816 писал(а):

мат-ламер в сообщении #463782 писал(а):

Можно подумать, что два трёхмерных вектора можно разделить друг на друга

В принципе и слона за руль запорожца не посадить... А к чему это?

А к чему делить кватернионы?

[ИСН]

А когда дифференцируют, там это самое... делят кого-то на что-то, вот к чему.

[Руст]

Делить не требуется. Только из- за не коммутативности общий вид линейной функции будет $aqb$ с двумя коэффициентами $a,b$. сами $a.b$ можно сделать одинаковыми по норме.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #463782 писал(а):

Изложение Максвелловской теории электромагнетизма первоначально было дано на языке кватернионов (которые были тогда в моде).

Изначально - на языке покомпонентных уравнений. Трактат Максвелла переиздан и за рубежом, и на русском, и найти его несложно.

Потом пришёл Гамильтон, и переписал покомпонентные уравнения как кватернионные.

А потом пришёл Хэвисайд, выбросил из кватернионов скалярную часть, создал современные векторную алгебру и анализ, и переписал кватернионные уравнения в знакомой нам школьной форме (форма Хэвисайда). Какую-то роль в этом выводе или популяризации этой формы играл Лоренц, так что иногда её называют формой Хэвисайда-Лоренца. Тж. не путать с системой единиц Хэвисайда.

Потом появилась СТО, и электродинамику переписали в "6-векторах", которые оказались тензорами...

Как через все эти перипетии прошли уравнения в интегральной форме, не знаю.

(Оффтоп)

Bulinator в сообщении #463816 писал(а):

Она не фундаментальна

Думаю, доберётесь до температурной КТП - ваше мнение поменяется.

[Nilenbert]

Munin в сообщении #464045 писал(а):

А потом пришёл Хэвисайд, выбросил из кватернионов скалярную часть, создал современные векторную алгебру и анализ

А это точно не Гиббс сделал?

[Munin]

Nilenbert в сообщении #464238 писал(а):

А это точно не Гиббс сделал?

Говорят, Хэвисайд. Если у вас более подробные сведения - буду рад почитать.

[Nilenbert]

Есть ссылка с Википедии на вот эту пдф-ку: http://www.math.ucdavis.edu/~temple/MAT ... ectors.pdf

Согласно ей, полностью отцепили векторы от кватернионов Гиббс и Хэвисайд, независимо, но Гиббс возможно немного раньше.

[Munin]

Спасибо за интересный материал.

Похоже, результаты Гиббса были векторным анализом самим по себе, а Хэвисайда - представляли в том числе электродинамику в векторном виде, поэтому в электродинамике и запомнился Хэвисайд.