Элементарная условная вероятность событий

[Lesobrod]

Имеется три карточки. На одной с обеих сторон нарисована буква А, на другой – В. На третьей карточке с одной стороны А, а с другой – В. Одна из карточек выбирается наугад и кладется на стол. Предположим, что на видимой стороне оказывается буква А. Какова вероятность, что на другой стороне карточки тоже будет А?
Очень прошу пошагово изложить, как здесь получается 2/3.
В условных вероятностях разбираюсь, но получается или 1/2,
или 1/6 (!).

[ewert]

Надо просто аккуратно переформулировать.

Зарегистрировано событие: $A=\{\text{выпала буква А}\}$.

Найти: $P(B|A)$, где событие $B=\{\text{вытянута карточка с совпадающими буквами}\}$.

Тогда $P(A)=1\cdot\frac13+\frac12\cdot\frac13+0\cdot\frac13=\frac12$ (или безо всяких вычислений половинка -- просто потому, что буквы равноправны);

$P(A\cdot B)=P(\{\text{вытянута первая карточка}\})=\frac13.$

[Лукомор]

Всего карточек - 3.
Карточек с одинаковыми буквами с обоих сторон - 2.
$P=\frac23$

[ewert]

Лукомор в сообщении #463340 писал(а):

Всего карточек - 3.
Карточек с одинаковыми буквами с обоих сторон - 2.
$P=\frac23$

Теперь попробуйте добавить ещё несколько карточек с только буквами В и пересчитайте.

[Лукомор]

ewert в сообщении #463345 писал(а):

Теперь попробуйте добавить ещё несколько карточек с только буквами В и пересчитайте.

Вероятность, что будет вытянута карточка с одинаковыми буквами - увеличится.

[ewert]

Лукомор в сообщении #463348 писал(а):

Вероятность, что будет вытянута карточка с одинаковыми буквами - увеличится.

Вы не на тот вопрос отвечаете. Как изменится вероятность того, что на обороте А при условии, что на лицевой стороне А?

[Лукомор]

ewert в сообщении #463349 писал(а):

Как изменится вероятность того, что на обороте А при условии, что на лицевой стороне А

Если мы уже вытянули карточку, у которой на лицевой стороне написано А,
то на обороте будет А с вероятностью $P=\frac23$
Соответственно, на обороте будет В с вероятностью $P=\frac13$

[ewert]

Лукомор в сообщении #463351 писал(а):

то на обороте будет А с вероятностью $P=\frac23$

Т.е. не изменится, да? Покажите, как Вы это сосчитали.

[Лукомор]

Lesobrod в сообщении #463327 писал(а):

Очень прошу пошагово изложить, как здесь получается 2/3.

Всего имеется три буквы А на двух карточках.
У двух из них на обратной стороне тоже буква А (обе этих буквы на одной из карточек с двух сторон).
У третьей буквы А на обратной стороне буква В.
Так понятно?

-- Ср июн 29, 2011 11:03:53 --

ewert в сообщении #463358 писал(а):

Т.е. не изменится, да?

А с чего ей меняться?

[ewert]

Лукомор в сообщении #463359 писал(а):

А с чего ей меняться?

Лукомор в сообщении #463340 писал(а):

Всего карточек - 3.
Карточек с одинаковыми буквами с обоих сторон - 2.
$P=\frac23$

Пересчитайте после добавления ещё одной карточки с двумя буквами В.

[TOTAL]

Lesobrod в сообщении #463327 писал(а):

Очень прошу пошагово изложить, как здесь получается 2/3.

Шаг 1. Перенумеруем все буквы А: А1, А2, А3. (А1 и А2 на одной карточке)
Шаг 2. Если видим на одной стороне карточки букву А, то это с равной вероятностью одна из различных букв А. Если это А1 или А2, то на обороте тоже будет А. А если это А3, то на обороте не будет буквы А. Т.е. буква А на обороте будет в два раза чаще, чем её не будет. Т.е. вероятность буквы А на обороте равна 2/3.

[Лукомор]

ewert в сообщении #463362 писал(а):

Пересчитайте после добавления ещё одной карточки с двумя буквами В.

Если у нас всего одна карточка с буквами А на обоих сторонах, и всего одна карточка с буквами А и В,
и если при этом выпала карточка с буквой А, то нас не интересует, сколько там карточек с буквами В на обоих сторонах.
Если же мы добавили, скажем, ещё одну карточку с буквами В на обоих сторонах, и выпала карточка с буквой В на лицевой стороне, то, естественно, вероятность того, что на обороте окажется тоже буква В, увеличится с $\frac23$ до $\frac45$.

[TOTAL]

Имеется три карточки. На одной с обеих сторон нарисована буква А, на двух других – В. Одна из карточек выбирается наугад и кладется на стол. Предположим, что на видимой стороне оказывается буква А. Какова вероятность, что на другой стороне карточки тоже будет А?

В этой задаче эффект усугубляется. Здесь ответ P=1.

[Лукомор]

TOTAL в сообщении #463373 писал(а):

В этой задаче эффект усугубляется.

Для получения такого эффекта достаточно изъять одну карточку
с разными буквами на противоположных сторонах.
Останется одна карточка с буквами А, и одна карточка с буквами В.
Теперь вероятность равна единице, независимо от выбора карточки и стороны.

[ewert]

Лукомор в сообщении #463367 писал(а):

Если у нас всего одна карточка с буквами А на обоих сторонах, и всего одна карточка с буквами А и В,
и если при этом выпала карточка с буквой А, то нас не интересует, сколько там карточек с буквами В на обоих сторонах.

Безусловно. Однако это не соответствует Вашему предыдущему способу подсчёта.