Вычислить площадь части поверхности(нужно немного прояснить)

[Right]

Формулировка задания : Вычислить площадь части поверхности , заключенную внутри цилиндрической поверхности Ц
Поверхность задана уравнением $ 1-z=(x^{2}+y^{2})^{3/2} $
Цилиндрическая поверхность z>0
Пробовал решить двумя способами :
1)
тк $S=\sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2} dxdy$
находим $dz/dx=(-3x(x^{2}+y^{2})^{1/2})$
$dz/dy=(-3y(x^{2}+y^{2})^{1/2})$
тогда
$S=\sqrt{1+9(x^{2}+y^{2})^{2}}dxdy$
здесь я столкнулся с проблемой непонимания подстановки пределов. оба интеграла изменяются от 0 до 1 или же один из них необходимо пересчитывать через выражение одной переменной через другую?
2)
зделав переход к полярным координатам получим
$ рp=1$
$x=\cos\alpha$
$y=\sin\alpha$
$S=\sqrt{12-6\sin2\alpha}$
И опять проблема с непониманием подстановки пределов. Достаточно просто пересчитать вышеизложенный интеграл в пределах от 0 до 2П, и р от 0 до 1, подставив в конец интеграла просто $d\alpha$ или же при переходе к этим переменным $dxdy$ считать через $x=\cos\alpha$, $y=\sin\alpha$

[Right]

надеюсь знающие люди помогут. и еще небольшой вопрос по пониманию нахождения площади таким образом.
по сути корень $S=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy$ есть подинтегральная функция в двойном интеграле, и в дальнейшем для нахождения мы просто рассматриваем проэкцию фигуры на плоскость , расставляя пределы аналогично как при поиске фигур на плоскости?

[Алексей К.]

Да. Но Вы ничего не рассказали про ограничивающий цилиндр. Остаётся лишь надеяться, что он при таком проектировании спроектируется в окружность, которая и даст пределы интегрирования.

-- 28 июн 2011, 17:33 --

$z>0$ --- это не цилиндр.

-- 28 июн 2011, 17:36 --

И обсуждение полярных координат у Вас плохое какое-то.

[Right]

я уже разобрался с этим...
дело в том что данная фигура будет выглядить как колпак. в том то и суть получается что как таковой цилиндрической поверхности нет.
да, я сполярными напутал. внутри при сумме квадратов x,y забыл что ее надо считать как r а не как число, и про якобиан забыл.