Логика (неясен термин)

[Pixar]

Я начал более менее серьёзно почитывать одну книжку по логике и, соответственно, мне хотелось бы понять её без каких-либо пробелов.
Первая фраза, которую я не понял - это следовать с необходимостью. Вот контекст:
"Все вулканы суть горы. Все гейзеры суть вулканы. Из этих двух положений с необходимостью следует, что все гейзеры суть горы."
Определение следования с необходимостью я гуглил, но находил лишь фразы, подобные этой: необходимо следовать правилам. Возможно я не правильно гуглил и мне кто-нибудь поможет?

[mihailm]

нy импликацию погуглите

[Lyosha]

Тут,IMHO,всё просто.Приняв истинность посылок возникает необходимость(обязанность) принять и истинность следствия,причём какая бы чушь из этих посылок ни следовала."Все птицы суть водяные.Все кошки суть птицы.Из этих двух посылок с необходимостью следует,что все кошки суть водяные".

[Portnov]

Чо-то мне кажется, что у топикстартера проблема просто из-за того, что такое выражение сейчас нигде кроме формальной логики (ну и всяких там математических доказательств) не употребляется. «из Х с необходимостью следует У» означает просто, что всегда, когда имеет место Х, имеет место и У. «с необходимостью» = «других вариантов нет».

[Pixar]

Как доказать, что утверждение "если x = 3, то x^2 = 6" ложно?

Я могу только так: если x действительно равен 3--м, то $x \cdot x = x^2 = 9$ (а это истинно по какой-то из аксиом или какому-то определению).
Утверждения x^2 = 9 и x^2 = 6 взаимно противоположные (как доказать? или это очевидно?), а, следовательно, при истинности x^2 = 9 ложно утверждение x^2 = 6 -> исходное утверждение ложно (истина влечёт ложь).
А тут у меня появляется другая импликация. Её истинность ведь тоже нужно доказать...
В общем, мне очень хочется понять, как доказать это утверждение строго. То есть, действительно строго, без всяких допущений на очевидность некоторых положений.

Это не есть одна из реальных задач, которые я изучаю. Просто, как промежуточный этап, нужно чёткое понимание в этом моменте.

[Sonic86]

$x^2=9 \wedge x^2=9 \Rightarrow 6=9$. Дальше надо приводить к противоречию $6=9$.

[beroal]

Pixar в сообщении #462231 писал(а):

Как доказать, что утверждение "если x = 3, то x^2 = 6" ложно?
…
В общем, мне очень хочется понять, как доказать это утверждение строго. То есть, действительно строго, без всяких допущений на очевидность некоторых положений.

Ну, одной логики будет недостаточно. Я предлагаю использовать:

• логика первого порядка, доказательство записывайте с помощью естественного вывода (natural deduction);
• равенство, аксиомы: рефлексивность, подстановка;
• аксиомы Пеано и определения арифметических операций (возведение в степень, умножение, сложение), числа разлагаете на $S$, $O$, например, $3=S(S(S(O)))$.

Я просто подробнее распишу доказательство от Sonic86:

• взять формулу $x^2=6$;
• из $x=3$ и аксиомы подстановки для равенства следует $3^2=6$;
• из определения арифметических операций следует $9=6$;
• из инъективности $S$ и $\forall x. \lnot S(x)=O$ следует $\bot$.

[Pixar]

beroal в сообщении #462575 писал(а):

Pixar в сообщении #462231 писал(а):

Как доказать, что утверждение "если x = 3, то x^2 = 6" ложно?
…
В общем, мне очень хочется понять, как доказать это утверждение строго. То есть, действительно строго, без всяких допущений на очевидность некоторых положений.

Ну, одной логики будет недостаточно. Я предлагаю использовать:

• логика первого порядка, доказательство записывайте с помощью естественного вывода (natural deduction);
• равенство, аксиомы: рефлексивность, подстановка;
• аксиомы Пеано и определения арифметических операций (возведение в степень, умножение, сложение), числа разлагаете на $S$, $O$, например, $3=S(S(S(O)))$.

Я просто подробнее распишу доказательство от Sonic86:

• взять формулу $x^2=6$;
• из $x=3$ и аксиомы подстановки для равенства следует $3^2=6$;
• из определения арифметических операций следует $9=6$;
• из инъективности $S$ и $\forall x. \lnot S(x)=O$ следует $\bot$.

Так лучше. Благодарю.