Why расстояния между N точками дают (N-2)(N-3)/2 отношений?

[Dims]

Не могу понять какую-то простую вещь! В книжке по ОТО, в простой главе во введении, говорится, что расстояния между N точками на плоскости, можно связать $(N-2) (N-3)/2$ соотношениями.

Величина эта вычисляется так: вводится система координат с началом в первой точке и осью X проходящей через вторую. Получается, что N точек имеют 2N-3 координат (одна координата от второй точки и по две от третьей и последующих).

Затем рассматривается число расстояний между точками, которое равно $N (N-1)/2$.

Потом говорится, что число возможных соотношений равняется разности между вторым и первым и получается то, что я написал вначале.

Далее приводится приводится пример. При N=4 получается, что число соотношений равно 1 и даётся длиннющее равенство, с левой стороны которого стоит ноль, а с правой -- многочлен со кучей перемножающихся квадратов и четвёртых степеней расстояний (всего 6 расстояний, в разных комбинациях, 22 слагаемых с разными знаками).

Утверждается, что это соотношение "легко показать". Но лично я вообще не могу понять, что оно означает? Какое-то нелепое тождество, связывающее расстояния, которое, видимо верно, но которых может, как кажется (видимо, ошибочно) быть хоть миллион.

И почему при N=3 формула количества соотношений даёт ноль? А как же теорема Пифагора? Чем это не соотношение между расстояниями между тремя точками? Чем она хуже?

Вот такой вопросец.

[nnosipov]

Dims в сообщении #462565 писал(а):

Не могу понять какую-то простую вещь! В книжке по ОТО, в простой главе во введении, говорится, что расстояния между N точками на плоскости, можно связать $(N-2) (N-3)/2$ соотношениями.

Я бы объяснил это так. Сначала заметим, что 6 расстояний $r_{ij}$ между любыми 4 точками плоскости связаны некоторым соотношением. (Это соотношение получается так: фиксируем одну из точек и проводим из неё векторы в три другие; полученные три вектора линейно зависимы, а потому их определитель Грама будет равен нулю; это и есть искомое соотношение, только нужно скалярные произведения векторов предварительно выразить через $r_{ij}$.) После этого фиксируем 2 точки из имеющихся $N$, а из оставшихся $N-2$ точек выбираем произвольно ещё 2 точки. Это можно сделать $C_{N-2}^2=(N-2)(N-3)/2$ способами.

Dims в сообщении #462565 писал(а):

И почему при N=3 формула количества соотношений даёт ноль? А как же теорема Пифагора? Чем это не соотношение между расстояниями между тремя точками? Чем она хуже?

Тем, что она справедлива не для любых 3 точек. Длины сторон произвольного треугольника ведь не связаны никаким равенством, связь между ними описывается неравенствами.

[Dims]

Точно! Про теорему Пифагора ступил эпично :)

А по первому пункту всё-таки не врубаюсь. Почему подсчёт в книжке напоминает сравнение числа уравнений с числом неизвестных? Это как-то связано?

[nnosipov]

Dims в сообщении #462639 писал(а):

А по первому пункту всё-таки не врубаюсь. Почему подсчёт в книжке напоминает сравнение числа уравнений с числом неизвестных? Это как-то связано?

А моё объяснение Вам понятно? Здесь мне проще будет Вам что-то дообъяснить. Если же нужно всё-таки разобраться именно в том, что в книжке написано, то я бы предпочёл видеть оригинал, а не, возможно, вольный пересказ.

[Dims]

nnosipov в сообщении #462642 писал(а):

А моё объяснение Вам понятно?

Смутно

Я понял, что вектора из одной точки в остальные зависимы потому, что их число (3) больше числа измерений пространства (2). Соответственно, мне понятно, что равенство нулю определителя является тождеством в этом случае. Хотя я и не понял, как косинусы из скалярных произведений пропадут, но предполагаю, что должны.

В общем, соотношение Вы построили, но я как-то его "не чувствую", не понимаю смысла, который оно выражает.

Дальше не врубаюсь, почему Вы фиксируете 2 точки, а потом 2 другие выбираете из оставшихся? Почему не фиксировать 1, а потом не выбрать 3 из оставшихся? Или не выбрать сразу 4 из N?

Цитата:

Если же нужно всё-таки разобраться именно в том, что в книжке написано, то я бы предпочёл видеть оригинал, а не, возможно, вольный пересказ.

Думаю, всё равно, с какого конца разбираться, может, по-книжному варианту будет мне проще.

Вот скан странички:


-- Пн июн 27, 2011 13:16:32 --

P.S. Вот картинка, на которую ссылка, вроде, в ней ничего особенного:

[nnosipov]

Давайте по порядку.

Цитата:

Хотя я и не понял, как косинусы из скалярных произведений пропадут, но предполагаю, что должны.

Косинус находится по обычной школьной теореме косинусов (по ней косинус угла треугольника можно выразить через длины сторон треугольника).

Цитата:

В общем, соотношение Вы построили, но я как-то его "не чувствую", не понимаю смысла, который оно выражает.

Геометрический смысл определителя Грама системы векторов --- это квадрат объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах. У нас три двумерных вектора, поэтому параллелепипед вырожденный и его объём ноль.

Цитата:

Дальше не врубаюсь, почему Вы фиксируете 2 точки, а потом 2 другие выбираете из оставшихся? Почему не фиксировать 1, а потом не выбрать 3 из оставшихся? Или не выбрать сразу 4 из N?

Можно и так. Я лишь хотел указать явно то количество соотношений, которое требовалось. Если же выбирать сразу 4 точки из $N$ имеющихся, то получающиеся соотношения уже, видимо, не будут независимыми. Впрочем, о независимости вроде речь не шла. На представленной страничке речь идёт о различных соотношениях, а независимые соотношения --- это вопрос более хитрый.

Кстати, хороший вопрос на картинке с картой Средней Земли. Ответ на него мы теперь легко узнаем.

[Someone]

Dims в сообщении #462676 писал(а):

В общем, соотношение Вы построили, но я как-то его "не чувствую", не понимаю смысла, который оно выражает.

Оно выражает тот факт, что геометрия плоскости - евклидова.

[Dims]

Конкретный вид соотношения говорит о евклидовости плоскости, но количество соотношений, как я понял, не зависит от евклидовости.

-- Пн июн 27, 2011 14:10:21 --

nnosipov в сообщении #462685 писал(а):

Геометрический смысл определителя Грама системы векторов --- это квадрат объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах. У нас три двумерных вектора, поэтому параллелепипед вырожденный и его объём ноль.

А если у нас два двумерных вектора?

Цитата:

Можно и так. Я лишь хотел указать явно то количество соотношений, которое требовалось.

Ничего не понимаю! Выглядит так, словно Вы подогнали расчёт под известный результат.

Мне непонятна логика вывода количества соотношений? Почему для трёх точек соотношений ноль? Почему для четырёх точек соотношений одно? И так далее.

Цитата:

Кстати, хороший вопрос на картинке с картой Средней Земли. Ответ на него мы теперь легко узнаем.

Там дальше говорится, что плоская.

[nnosipov]

Dims в сообщении #462695 писал(а):

А если у нас два двумерных вектора?

Тогда их определитель Грама --- это квадрат площади параллелограмма, натянутого на эти векторы. (Выше я несколько неудачно выразился: "три двумерных вектора" лучше понимать как три вектора, лежащие в одной плоскости.) Кстати, правая часть в формуле (1.1.4) с точностью до постоянного множителя выражает объём тетраэдра через длины $d_{mn}$ его рёбер (трёхмерный аналог формулы Герона для площади треугольника).

Dims в сообщении #462695 писал(а):

Мне непонятна логика вывода количества соотношений? Почему для трёх точек соотношений ноль? Почему для четырёх точек соотношений одно? И так далее.

Почему для 3 точек соотношений нет, мы уже обсуждали. Для 4 точек есть по крайней мере одно соотношение (это наш определитель, равный нулю). Весьма вероятно, других соотношений, не сводящихся к этому, нет (но аккуратное доказательство потребует некоторых усилий). Для $N$ точек есть по крайней мере $C_{N-2}^2$ соотношений. Независимы ли они или нет --- это отдельный вопрос. Вообще, в том тексте, что Вы привели, ничего не говорится о точном количестве (и тем более независимых) соотношений. Можно, конечно, и такой вопрос поставить, но, боюсь, доказательный ответ будет непростым.

[Алексей К.]

Dims в сообщении #462565 писал(а):

Утверждается, что это соотношение "легко показать". Но лично я вообще не могу понять, что оно означает?

Оно означает всего лишь, что для 4-х точек Вы не можете произвольно назначить расстояния $d_{ij}$. Вы можете произвольно выбрать, скажем $d_{12},d_{13},d_{14},d_{23},d_{24}$. А вот $d_{34}$ — какой получится, такой и получится. Если получится. Для определения возможный значений у Вас имеется то самое биквадратное уравнение относительно $d_{34}$ (или любого другого $d_{ij}$). Так что ещё и интересен его дискриминант. Небось, на множители забавно разлагается.

А показать действительно легко (в смысле, утомительно, конечно, но зато тупо). Любая Мапла Вам это в секунду сделает.

-- 27 июн 2011, 16:48 --

(насчёт секунды загнул, наверное)

[Dims]

nnosipov в сообщении #462702 писал(а):

Почему для 3 точек соотношений нет, мы уже обсуждали.

Но не полностью. Понятно, что теорема Пифагора таким соотношением служить не может. Но почему нельзя написать какого-то другого соотношения? Например, с 22-мя или 122-мя членами?

Цитата:

Для 4 точек есть по крайней мере одно соотношение (это наш определитель, равный нулю). Весьма вероятно, других соотношений, не сводящихся к этому, нет (но аккуратное доказательство потребует некоторых усилий).

Но ведь в книге приведён расчёт количества таких соотношений. И приведён походя, как что-то элементарное. Если для N=4 количество равно 1, то, естественно, других соотношений нет. Но почему их нет?

Цитата:

Вообще, в том тексте, что Вы привели, ничего не говорится о точном количестве (и тем более независимых) соотношений.

А что там говорится? Там подсчитывается количество каких-то соотношений. Каких? И почему количество именно таково?

-- Пн июн 27, 2011 16:07:00 --

Алексей К. в сообщении #462746 писал(а):

Оно означает всего лишь, что для 4-х точек Вы не можете произвольно назначить расстояния $d_{ij}$. Вы можете произвольно выбрать, скажем $d_{12},d_{13},d_{14},d_{23},d_{24}$. А вот $d_{34}$ — какой получится, такой и получится.

А, ну вот, дошло! Координаты мы можем выбирать свободно и независимо, поэтому, сколько у нас есть координат для N точек, столько у нас и независимых параметров, описывающих систему (степеней свободы). Поскольку расстояний больше, значит, не все из них независимы. Следовательно, должно существовать какое-то количество уравнений, позволяющих найти остальные расстояния, зная некоторое их числ. Количество этих уравнений и вычисляется в книге, понятно.

[nnosipov]

Dims в сообщении #462749 писал(а):

Но не полностью. Понятно, что теорема Пифагора таким соотношением служить не может. Но почему нельзя написать какого-то другого соотношения? Например, с 22-мя или 122-мя членами?

Наверное, это Вы уже поняли.

[Алексей К.]

Ну да. Случай N=4 — первый из тех, когда $\frac{N(N-1)}{2}>2N-3$; и разность $\frac{N(N-1)}{2}-(2N-3)$ равна 1. Исключая из шести уравнений $(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2-d_{ij}^2=0$ пять неизвестных $x_2,x_3,y_3,x_4,y_4$, получаем ровно одно соотношение между параметрами системы уравнений.

[_hum_]

Dims в сообщении #462749 писал(а):

Поскольку расстояний больше, значит, не все из них независимы.

А как же 4 точки в трехмерном пространстве?

[nnosipov]

Интересная фраза на указанной странице: "... и для достаточно больших $N$ можно ...". То есть $N=4$ уже достаточно велико.