Периодическая функция

[PSP]

Если функция периодическая , то решением какого самого общего дифференциального уравнения она может быть?
(это должна быть гладкая , всюду и бесконечно дифференцируемая функция)

[Дмитрий Хованский]

Мне не совсем понятен вопрос. Все зависит от того, какой гладкостью обладает эта функция. Можно придумать "очень негладкую" периодическую функцию и она не будет решением никакого дифференциального уравнения, во всяком случае в пространствах $C^k$.

[PSP]

Дмитрий Хованский писал(а):

Мне не совсем понятен вопрос. Все зависит от того, какой гладкостью обладает эта функция. Можно придумать "очень негладкую" периодическую функцию и она не будет решением никакого дифференциального уравнения, во всяком случае в пространствах $C^k$.

Забыл уточнить , что это должна быть гладкая , всюду и бесконечное дифференцируемая функция.
Моя гипотеза ,что это должно быть д.у. следующего вида:
(x')^2=A(x) , где A(x) - многочлен n -ой степени Можно её доказать? или есть более общие д.у ?

[Дмитрий Хованский]

Ваша формула довольно обего вида. Правильно ли я понял, что какую бы я ни взял периодическую гладкую функцию, она будет удовлетворять этому уравнению с некоторыми $A(x)$ и $n$?

Если так, то первое, что хочется сделать - это построить контр-пример. Например, если взять функцию $e^{\frac{1}{x^2-a^2}}$ на отрезке $[-a,a]$, а затем продолжить ее на всю ось по периодичности (склейка в точках $na$ обеспечит нам бесконечную дифференцируемость), то, по-моему, эта функция не будет удовлетворять Вашему уравнению. После дифференцирования из-под экспоненты вылезают степени $x$ и их не получается компенсировать многочленом от исходной функции.

Правильно ли я понял Ваш вопрос? И, кстати, откуда такое дифференциальное уравнение?

[worm2]

Если функция аналитическая, то вот Вам дифур (правда, бесконечного порядка):

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\Theta^n}{n!}x^{(n)} = 0$$

,
где $\Theta$ --- период.

PSP писал(а):

Моя гипотеза ,что это должно быть д.у. следующего вида:
(x')^2=A(x) , где A(x) - многочлен n -ой степени Можно её доказать? или есть более общие д.у ?

Для функции x(t) = sin(cos(t)) у меня получилось только такое уравнение указанного Вами вида:
(x')^2=(1-x^2)(1-\arcsin^2 x).
И у меня нет надежды преобразовать правую часть в многочлен.

[PSP]

Дмитрий Хованский писал(а):

Правильно ли я понял Ваш вопрос? И, кстати, откуда такое дифференциальное уравнение?

Вопрос понят правильно. А д.у. взято из Г.Джеффериса по "ММФ" ,из главы по эллиптическим функциям.Писал д.у. по памяти , сейчас посмотрел , а там укахано более общее д.у. :
(x')^2=A(x) , где A(x) - любая гладкая дифференцируемая функция.
Можно ли построить контрпример? Утверждается , что все гладкие диф. периодические функции являются решением такого д.у....