И снова числа по кругу

[Xenia1996]

По окружности записано 100 разных чисел, не равных нулю. Доказать, что среди этих чисел найдутся такие три числа a, b, c, идущих подряд (по часовой стрелке - прим. Ксюш.), что b(a – c) > 0.

[Руст]

Произведение двух подряд $ab$ не может быть монотонным. В точке максимума выполняется $ab\ge bc$.
Строгого неравенства может не быть. Например все равны 1 или $x,x^{-1},x,x^{-1},...$

[Xenia1996]

Руст в сообщении #462379 писал(а):

Произведение двух подряд $ab$ не может быть монотонным. В точке максимума выполняется $ab\ge bc$.
Строгого неравенства может не быть. Например все равны 1 или $x,x^{-1},x,x^{-1},...$

Красивое решение.
Моё - не очень:

Предположим, что для любых трёх a, b, c, идущих подряд по часовой стрелке, выполнено b(a – c) < 0 (ровно 0 быть не может, ибо по условию нулевых чисел нет).
Тогда:
1. Все числа не могут быть положительными. В противном случае, числа под нечётными номерами будут расположены в порядке возрастания (но круг не бесконечен, придём снова к первому числу).
2. Аналогично, все числа не могут быть отрицательными.
3. Два положительных не стоят подряд (в противном случае, все будут положительными).
4. Аналогично, два отрицательных не могут стоять подряд.

Значит, числа чередуются (плюс-минус-плюс-минус), но тогда все отрицательные числа должны быть расположены в порядке возрастания (но круг не бесконечен, придём снова к первому числу).
Противоречие.

Неудачно, конечно, сформулировала, но, по-моему, решение верно.

[Naf2000]

Просуммируем все 100 возможные произведения $b(a-c)$. Их сумма равна нулю, но все они ненулевые. Значит есть положительный элемент.