Касательные в точке касания кривых

[Morkonwen]

Я тут подумал(хотя возможно это и тривиально) что у двух достаточно хороших кривых которые касаются в одной точке. касательные в этой точке будут совпадать. И мне стало любопытно насколько хорошей должна быть кривая. По идее один раз дифференцируемости должно хватить?

[Gortaur]

Morkonwen
А что Вы считаете касанием кривых? Насколько нам рассказывали, кривые касаются в какой-то общей точке, если их касатальные в этой точке совпадают.

[Алексей К.]

Morkonwen в сообщении #462074 писал(а):

что у двух достаточно хороших кривых которые касаются в одной точке. касательные в этой точке будут совпадать.

Ну да, это просто определение касания. Может, "существуют и совпадают". Чтобы избежать болтовни на тему "касается ли график функции $y=|x|$ оси абсцисс?"
Обсуждение этого вопроса связывают обычно с параметризацией. Можно придумать хорошие кривые с хорошим касанием, а параметризацию сочинить специально такую, чтобы производных не было в этой точке. Натуральная параметризация (по длине дуги кривой) упрощает эти разговоры (Шикин, Франк-Каменецкий, Кривые на плоскости и в пространстве. Ведение и гл. 1).

Бывает и касание второго порядка: совпадают круги кривизны в общей точке.

[Morkonwen]

Gortaur в сообщении #462077 писал(а):

Morkonwen
А что Вы считаете касанием кривых?

когда они имеют одну общую точку , но не проходят друг через друга. А то что вам объясняли это уже вывод =)

Алексей К.Спасибо за хороший ответ!

[alex1910]

Morkonwen в сообщении #462136 писал(а):

Gortaur в сообщении #462077 писал(а):

Morkonwen
А что Вы считаете касанием кривых?

когда они имеют одну общую точку , но не проходят друг через друга. А то что вам объясняли это уже вывод =)

Алексей К.Спасибо за хороший ответ!

Что такое "проходят друг через друга"?
x^3 и -x^3 в нуле что делают, по вашему?

[nnosipov]

Morkonwen в сообщении #462136 писал(а):

Gortaur в сообщении #462077 писал(а):

Morkonwen
А что Вы считаете касанием кривых?

когда они имеют одну общую точку , но не проходят друг через друга.

Шикарное объяснение касания двух кривых. Видимо, две пересекающиеся прямые всё же касаются друг друга. Хотя ... они же прямые, а тут речь идёт о кривых.

[Morkonwen]

не проходят друг через друга и значит не пересекаются

[alex1910]

Morkonwen в сообщении #462182 писал(а):

не проходят друг через друга и значит не пересекаются

Что икс-куб, что минус икс-куб - обе проходят через (0,0), т.е. явно пересекаются:)

[Morkonwen]

alex1910 в сообщении #462183 писал(а):

Что икс-куб, что минус икс-куб - обе проходят через (0,0), т.е. явно пересекаются:)

я не понял при чем здесь

[alex1910]

Morkonwen в сообщении #462184 писал(а):

alex1910 в сообщении #462183 писал(а):

Что икс-куб, что минус икс-куб - обе проходят через (0,0), т.е. явно пересекаются:)

я не понял при чем здесь

Это - тривиальный пример того, как две кривые касаются и при этом "проходят друг сквозь друга" - т.е. вторая кривая лежит по обе стороны от первой и наоборот.

[Morkonwen]

alex1910 в сообщении #462188 писал(а):

Это - тривиальный пример того, как две кривые касаются и при этом "проходят друг сквозь друга" - т.е. вторая кривая лежит по обе стороны от первой и наоборот.

Ааа, понял. да. вы правы! для меня касание это "положить одну кривую на другую" как два твердых тела. и в общем то для меня неочевидно совпадение касательных

[ИСН]

Нет, для Вас-то как раз очевидно, и это хорошо. Лучше иметь в мозгу зрительный образ ("положить одну кривую на другую"), а упущенные частные случаи вылавливать поодиночке, чем не иметь никакого образа, а только тупо крутить в руках определение.

[alex1910]

ИСН в сообщении #462198 писал(а):

Нет, для Вас-то как раз очевидно, и это хорошо. Лучше иметь в мозгу зрительный образ ("положить одну кривую на другую"), а упущенные частные случаи вылавливать поодиночке, чем не иметь никакого образа, а только тупо крутить в руках определение.

Любое касание кривых, в определенном очевидном смысле, эквивалентно касанию двух парабол x^n и +-x^m в нуле - так что это как раз общий случай, а не частная патология.

А механические аналогии хороши только для малых окрестностей точки касания, в которых обе кривые выпуклы, да и более уместны не для кривых, а для поверхностей.

[patzer2097]

alex1910 в сообщении #462215 писал(а):

Любое касание кривых, в определенном очевидном смысле, эквивалентно касанию двух парабол x^n и +-x^m в нуле

Еще тогда стоит, наверно, для полноты добавить пары $\left(0, e^{-\frac{1}{x^2}}\right)$ и $\left(0, xe^{-\frac{1}{x^2}}\right)$, у которых совподают все производные в нуле, причем кривые первой пары "не проходят", а второй - "проходят друг сквозь друга"

[Gortaur]

ИСН
Образ-то иметь, конечно не помешает, но лучше помнить (или знать), что касание - локальное свойство, в то время как Morkonwen пытается воспринимать это глобально. Кривые могут касаться в одной точке, а в другой пересекаться/быть секущими/да что угодно.