Комплексные решения нелинейных дифференциальных уравнений

[evgeniy]

Вначале о существовании комплексного решения у нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. уравнение Навье-Стокса можно решить с помощью разложения решения в ряд $\vec V(t,\vec r)=\sum_{n=1}^{\infty}\vec \alpha_n(t)\varphi_n(\vec r)$. Подставляем это решение в уравнение Навье-Стокса, умножаем на величину $\varphi_m(\vec r)$ и интегрируем по пространству, после преобразований получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений зависящих только от времени
$\frac{d\alpha_m}{dt}=\sum_{p,q} F_{mpq}\alpha_p \alpha_q+\sum_{p}G_{mp}\alpha_p+H_m$
Эта система нелинейных уравнений имеет комплексные положения равновесия, наряду с действительными. Причем ряд решение оказывается комплексным в связи с тем, что выбирается одна ветвь решения. Таким образом получается комплексное решение нелинейных уравнений в частных производных. Но какав физический смысл комплексного решения. Оказывается, что действительная часть равна интегралу по времени от ускорения по величине или модулю, а мнимая часть от ускорения по направлению. Т.е. действительная часть соответствует поступательной части скорости, а мнимая вращательной, а вместе они определяют скорость движения.
Рассмотрим оператор дивергенция. При изменении знака одной из трехмерных компонент, операция дивергениция не меняет знак. Т.е. левая дивергенция и правая имеют одинаковые знаки. Представим комплексную скорость, действительную и мнимую часть и возьмем правую и левую дивергенцию. ПРичем левую дивергенцию возьмем от комплексно сопряженного вектора в системе координат, где ось направленная по мнимой части вектора изменит знак. При этом эти дивергенции равны. Т.е. имеем
$\operatorname{div}(\vec V+\vec V^{*})/2+i \operatorname{div}(\vec V-\vec V^{*})/2=\operatorname{div}(\vec V+\vec V^{*})/2-i \operatorname{div}(\vec V-\vec V^{*})/2$
Получается такое равенство, так как взяли левую дивергенцию от комплексно сопряженной величины, а левая и правая дивергенция равны. Т.е. получается, что дивергенция мнимой части равна нулю, значит мнимая часть является ротором некоторого вектора.
Аналогично доказывается, что ротор меняет знак при переходе из правой системы координат в левую, и взяв оператор правый и левый ротор получим, что действительная часть равна градиенту скаляра. Мне кажется это естественным, так как действительная и мнимая часть вектора это аксиальный и полярный вектор.
Вообще то в одной и той же системе координат, действительная и мнимая часть ортогональны. Но решение уравнений в частных производных определяет мнимую и действительную часть в разных системах координат. Удалось создать такую их комбинацию, что они образуют ортогональный вектор, который и является физическим смыслом комплексного вектора в одной системе координат.
При этом, там где комплексное решение конечно, действительное решение стремится к бесконечности. Поясню на примере. Уравнение
$\frac{dx}{dt}=1+x^2$
Имеет бесконечное действительное решение x=tant, и конечное комплексное решение $x=\tg(t-t_0+\arctg(x_0+i\delta))$, можно убедиться, что решение этого уравнения конечно.
При решении уравнения Навье-Стокса существует предел для существования решения. Этого предела нет в комплексном решении. метереологические решения с помощью комплексного можно продолжать до бесконечности и тогда прогноз погоды будет не недельным, а более длительным.

[evgeniy]

Комплексному решению соответствует отрицательная кинетическая энергия по формуле
$\rho [(ReV)^2-(ImV)^2+2i ImV ReV]$
Докажем, что в формуле кинетической энергии для электрона, вращающегося в атоме радиальная часть скорости отрицательна. Полная энергия электрона равна $-1/2n^2$. При этом электрическая часть энегрии равна
$<(-1/r)> = -1/n^2$
вращательная часть энергии равна
$<(l(l+1)/r^2)> = l(l+1)/n^3(l+1/2)$
пРи этом энергия движения по радиусу, равная величине
$1/2n^2[1-2l(l+1)/(n_r+l+1)(l+1/2)]$
при большой величине орбительного числа l, может быть отрицательна.
Но для макротел отрицательна вращательная часть энергии, а для элементарных частиц отрицательна энергия поступательного движения по радиусу. Если появятся желающие узнать почему, я могу прокоментировать.