идеал в кольце функций, непрерывных на отрезке

[Dan B-Yallay]

Дано кольцо R = C[0,1] т.е. функций, непрервных на единичном отрезке.
В этом кольце множество функций, равных нулю в точке 1/4, образует идеал I.
I={f из R | f(1/4) =0 }
Доказать, что этот идеал не является главным и вообще не конечно-порожденным.

[Padawan]

Допустим
I=(g)-главный идеал, порождённый функцией g, g(1/4)=0. Это значит, что любая функция f из I представима в виде f=hg, где h-непрерывная на отрезке [0,1] функция.Отсюда получаем f=O(g), на [0,1]
Но для функции f=|g|^(1/2) (корень из модуля g) в окрестности точки 1/4 такая оценка не имеет места.

Для случая I=(g1,...,gn) возьмём функцию f=|g1|^(1/2)+...+|gn|^(1/2).

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Это значит, что любая функция f из I представима в виде f=hg, где h-непрерывная на отрезке [0,1] функция.Отсюда получаем f=O(g), на [0,1]
Но для функции f=|g|^(1/2) (корень из модуля g) в окрестности точки 1/4 такая оценка не имеет места.
Для случая I=(g1,...,gn) возьмём функцию f=|g1|^(1/2)+...+|gn|^(1/2).

Спасибо за подсказку, но данное решение уже было предложено преподавателю, и случай с главным идеалом был оценен как верный. Тем не менее, для функции

$ \ f(x)=\sqrt|\ g_1| + \sqrt|\ g_2| +... \sqrt|\ g_n| $

возникли затруднения с аналогичной оценкой сомножителей

$ \ h_1 , \ h_2 ,... \ h_n $

Проблема в том, что в случае с несколькими порождающими, последние (порождающие) могут иметь множественные нули вблизи (1/4), с условием чтобы они не совпадали у всех одновременно. Ну, кроме точки (1/4) разумеется.

P.S. Для единственной порождающей есть еще решение -

$ \ f(x)= { |\ g| , x < (1/4)} $
$ f(x)= { \ g , x > (1/4)} $

[Padawan]

Лень было возиться с оценками. Сейчас уточню.

[Padawan]

Покажем, что функцию f=sqrt|g_1|+...+sqrt|g_n|
нельзя представить в виде f=h_1*g_1+...h_n*g_n.

Если бы f=h_1*g_1+...h_n*g_n, то |f|<=M(|g_1|+..|g_n|) на [0,1].

Заметим, что |g_1|+...+|g_n|=/=0 при x=/=1/4 (как Вы и отметили).

|f|/(|g_1|+...+|g_n|)=(sqrt|g_1|+...+sqrt|g_n|)/(|g_1|+...+|g_n|)>=sqrt(max|g_k|)/(n*max|g_k|)=
1/(n*sqrt(max|g_k|))->infinity при x->1/4,

что противоречит |f|<=M(|g_1|+..|g_n|).

[Dan B-Yallay]

Кажется убедительным. Посмотрим что скажет профессура.

Спасибо Ж8)