Предел последовательности

[myra_panama]

Пусть $x_n=x_{n-1}-x_{n-1}^2, n\ge2$ для $x_1\in(0,1).$
Вычислить: $\lim \limits_{n\to\infty}\frac{n^2x_n-n}{\ln n}.$

[Gortaur]

Имеет ли предел сама последовательность $x_n$? Или может, частичный предел?

[ИСН]

Имеет, конечно, как же не иметь: она монотонна и ограничена.

[Gortaur]

ИСН

(Оффтоп)

Месть?

[ИСН]

(Оффтоп)

Какая месть?

То, что $x_n$ ведёт себя примерно как 1/n, более-менее очевидно. Но нас спрашивают про следующий член асимптотики, про который я пока не понимаю даже, действительно ли он имеет такой вид ($\ln n/n^2$), и почему.

[Gortaur]

ИСН

(Оффтоп)

Да Вам не нравится, когда Вы ведете полную намеков игру с ТС, а я топорно подсказываю что-то. Ругаетесь...

[myra_panama]

Ну , последовательность {$x_n$} убывающая , и ограничена ....
По моему для вычисление предела , достаточно использовать теорему Штольца ...
С начало покажем , что$ \lim\limits_{n\to\infty}nx_n=1$
и вычислим $\lim \limits_{n\to\infty}\frac{n^2x_n-n}{\ln n}=\lim \limits_{n\to\infty}\frac{nx_n(n-\frac{1}{x_n})}{\ln n}=\lim \limits_{n\to\infty}\frac{(n-\frac{1}{x_n})}{\ln n}=....$

Если ощибся поправтье

-- Чт июн 23, 2011 12:41:55 --

ИСН есть какие нибудь комментарии или NO COMMENT

[ИСН]

(Оффтоп)

Ах, это. Ну, есть же какая-то оценка собеседнега по его истории, no man is an island. Если понятно, что ему это и так понятно, то зачем же докапываться, ведь понятно же. А совсем другое дело, если, к примеру, вопрос об интегралах через вычеты - и советы начинают давать по делу - а сам человек комплексные числа как множить не знает. Тут надо лезть в душу: "Послушай, парень, у тебя ноги-то нет."

Не очень понял, чем Вам поможет опрокидывание иксов; впрочем, у меня вообще пока нет решения, так что всё может быть.

[Gortaur]

myra_panama
Факт довольно известный, что это логистическое отображение - может есть уже известные асимптотики для $r=1$?
Если обозначить $a_n = \frac{n^2 x_n-n}{\log{n}}$, то получим

$$ \frac{a_n}{a_{n-1}} \to 1. $$

Может, поможет?

[myra_panama]

ИСН в сообщении #461374 писал(а):

Не очень понял, чем Вам поможет опрокидывание иксов; впрочем, у меня вообще пока нет решения, так что всё может быть

Ну хоршо...
По теорему Штольца имеем:

$\lim\limits_{n\to\infty}nx_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\frac1{x_n}}\sim \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\frac1{x_n}-\frac1{x_{n-1}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n \cdot x_{n-1}}{x_{n-1}-x_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n-1}(x_{n-1}-x^2_{n-1})}{x^2_{n-1}}=\lim\limits_{n\to\infty}(1-x_{n-1})=1 $
Отсюда из

myra_panama в сообщении #461367 писал(а):

$\lim \limits_{n\to\infty}\frac{n^2x_n-n}{\ln n}=\lim \limits_{n\to\infty}\frac{nx_n(n-\frac{1}{x_n})}{\ln n}=\lim \limits_{n\to\infty}\frac{(n-\frac{1}{x_n})}{\ln n}=....$

$\sim\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-\frac1{x_n}+\frac1{x_{n-1}}}{\ln n -\ln (n-1)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-\frac1{x_n}+\frac1{x_{n-1}}}{-\ln (1-\frac1{n})}\sim \lim\limits_{n\to\infty} n(1-\frac1{x_{n-1}-x^2_{n-1}}+\frac1{x_{n-1}})=\lim\limits_{n\to\infty}-\frac{nx_n}{1-x_{n-1}}=-1$

ИСН в сообщении #461374 писал(а):

Ах, это. Ну, есть же какая-то оценка собеседнега по его истории, no man is an island. Если понятно, что ему это и так понятно, то зачем же докапываться, ведь понятно же. А совсем другое дело, если, к примеру, вопрос об интегралах через вычеты - и советы начинают давать по делу - а сам человек комплексные числа как множить не знает. Тут надо лезть в душу: "Послушай, парень, у тебя ноги-то нет.

а это вы кому?? или это анекдот ,,,, грубо как то..

[Gortaur]

myra_panama

(Оффтоп)

Насчет ноги - мы с ИСН обсуждаем, кому сколько подсказывать. Обычно с его стороны это делается намеками - а когда я привожу более сильные подсказки, он меня ругает за то, что я влез. Сейчас наоборот он выдал утверждение, которое отвечало на мой вопрос вместо Вас (Вас я не собирался изводить намеками, кстати - просто начал с некоторых догадок). Меня это удивило - он же мне в ответ и написал, что подсказывает в зависимости от человека. Вас он считает подкованным, поэтому от своей подсказки вреда не видит - так что не воспринимайте отсутствие ноги на свой счет. Но черт возьми! Ваша пунктуация меня часто ставит в тупик. Зачем 4(!) запятые, если не секрет? Надеюсь, это не оскорбительно - мне просто давно было интересно, а спросить как-то стеснялся.

[myra_panama]

Gortaur

(Оффтоп)

Цитата:

Зачем 4(!) запятые, если не секрет?

это означает , что я хочу что то сказать , но не получается , (у меня проблема с русским языком) . Надеюсь , что ...

[Gortaur]

myra_panama
Спасибо, любопытство удовлетворено.