Предел функции от двух переменных

[mirh]

Существует ли предел функци $\lim\limits_{x,y\to0}\frac{xy}{x^2+y^2}$?
Правильны ли рассуждения:
$f(0,y)=0$ и $f(x,0)=0$
$f(x,x)=\frac{1}{2}$
$\lim\limits_{x\to0}f(x,0)=0$
$\lim\limits_{y\to0}f(0,y)=0$
$\lim\limits_{x\to0}f(x,x)=\frac{1}{2}$
Значит, функция имеет разные пределы вдоль лучей из начала координат, следовательно, в нуле функция не имеет предела

[Gortaur]

Правильно, обычно помогает рассмотреть пределы $f(t,kt)$ при $t\to 0$ и различных $k$ - почти то же, что и Вы сделали, но может прогодится когда.

[mirh]

Например, если рассмотреть предел $\lim\limits_{x,y\to0}\frac{x^2y}{x^2+y^2}$,
то $f(x,kx)=\frac{kx}{1+k^2}$,следовательно,$\lim\limits_{x\to0}f(x,kx)=0$ значит и предел функции в точке 0 существует и равен 0?

[ИСН]

Обратно не работает. Бывают примеры, где по всем лучам предел одинаковый, а общего - нет.

[Gortaur]

Здесь уже поможет взять $y=x^3$.

[mirh]

Спасибо