Екатериненландская олимпиада

[Xenia1996]

На математической олимпиаде страны Екатериненландии было предложено $n>1$ задач. Среди участников олимпиады не оказалось двух, решивших одни и те же задачи. Если не принимать во внимание любую из задач, то, выбрав любого участника, можно найти и другого, решившего из оставшихся $n-1$ задач те же, что и он.
Сколько человек участвовало в олимпиаде (выразить через $n$)?
Сколько решений имеет задача (для каждого натурального $n>1$)?

[Sender]

Похоже, количество участников может принимать любое натуральное значение от n+1 до $2^n$.

[zhekas]

$2^n$

Пусть существует участник решивший k задач. Убрав из этого списка одну из его задач, получим что существует участник, решивший k-1 задачу. И т.д. Получим, что существует участник не решивший ни одной задачи.

Теперь от него двигаемся вверх.

Закрывая i-ю задачу, получим, что существует участник не решивший кроме i-ой задачи ни одной. Итого существуют n участников решивших по одной задаче (все разные)

Выбрав участника с одной i-ой задачей и закрыв j-ю. Найдём участника решившего задачи i и j

И т.д. Получим что на любой набор задач найдётся один участник. Всего таких наборов $2^n$

[zhekas]

Это при условии, что найдётся хотя бы один участник. А так 0 тоже подходит