Предел последовательности, заданной рекуррентно

[bundos]

$\displaystyle a_0=1; b_0=\frac1{\sqrt2}$
$\displaystyle a_{n+1}=\frac12(a_n+b_n), b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}, c_n=\frac{4a_nb_n}{1-\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}2^{k+1}(a_k^2-b_k^2)}$. Найти:

$$\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}c_n.$$

[bnovikov]

Может быть, поможет замена $x_n=a_n/b_n$?

[nnosipov]

По поводу $a_n$ и $b_n$ см. Гаусс, арифметико-геометрическое среднее. Эти последовательности имеют общий предел, выражающийся эллиптическим интегралом.

[bundos]

Подскажите пожалуйста, где про эти средние подробно написано. У меня что-то никак нагуглить не получается.

[ИСН]

Да про них-то написано везде, хотя бы и в википедии; но к результату это нас не приближает.

-- Ср, 2011-06-22, 11:53 --

Upd. Зато другое, что также в ней написано - очень даже приближает.

-- Ср, 2011-06-22, 11:58 --

В конечном итоге выходим на
http://mathworld.wolfram.com/Brent-SalaminFormula.html

[bundos]

ИСН, за ссылки спасибо! Однако мне непонятно, как получить, что $\displaystyle\mathrm{agm}(a,b)=\frac{(a+b)\pi}{4K\left(\frac{a-b}{a+b}\right)}$. Скорее всего я плохо смотрел, но так и не понял откуда при вычислении предела получается эллептический интеграл?

[nnosipov]

bundos в сообщении #461170 писал(а):

откуда при вычислении предела получается эллептический интеграл?

Такой точно не получится, а эллиптический --- да. Читайте Гаусса.

[bundos]

nnosipov в сообщении #461175 писал(а):

bundos в сообщении #461170 писал(а):

откуда при вычислении предела получается эллептический интеграл?

Такой точно не получится, а эллиптический --- да. Читайте Гаусса.

(Оффтоп)

Так и не нашёл, к сожалению. Может кто-нибудь ещё посоветует какую-нибудь литературу по этой теме?