Iranian student olimpyad

[ewert]

myra_panama в сообщении #460680 писал(а):

что здесь символизирует $\infty$ в $\lVert f\rVert_{\infty}$

Очень просто: для любой непрерывной функции $f$ вдруг оказывается, что $\|f\|_p\mathop{\longrightarrow}\limits_{p\to+\infty}\max\limits_x|f(x)|$, где $\|f\|_p\equiv\left(\int\limits_a^b|f(x)|^pdx\right)^{\frac1p.$

[myra_panama]

ewert - у меня как то путаница... (извините за безграмотность)
как будем написать метрику $(X,d_0) , (X,d_1) , (X,d_2)$?

(Оффтоп)

у меня начинается трудности по изучению мат.анализа с точки зрении теории....

[ewert]

myra_panama в сообщении #460787 писал(а):

как будем написать метрику $(X,d_0) , (X,d_1) , (X,d_2)$?

Да как хотите, так и пишите. Это всего лишь вопрос выбора системы обозначений.

(у них там некоторое дополнительное запудривание мозгов: постоянно талдычат о метрических пространствах, в то время как фактически речь идёт лишь об их частном случае -- о нормированных)

[myra_panama]

ewert еще раз извиняюсь (за безгр..)
$f,g\in X$ , здесь вы показали , что $\|f\|_p\equiv\left(\int\limits_a^b|f(x)|^pdx\right)^{\frac1p.$

а для функции g ? или можно так $\|g\|_p\equiv\left(\int\limits_a^b|g(x)|^pdx\right)^{\frac1p.$

[ewert]

а разве это не одно и то же?...

[myra_panama]

ewert в сообщении #460898 писал(а):

а разве это не одно и то же?...

ну , не знаю , но я начинал с учебника Колмогорова... и нашел доказательство неравенство Минковского для функции x(t) , y(t)
$(\int\limits_{a}^{b}{|x(t)+y(t)|}^{p}dt)^{\frac1{p}}\le (\int\limits_{a}^{b}{|x(t)|}^{p}dt)^{\frac1{p}}+(\int\limits_{a}^{b}{|y(t)|}^{p}dt)^{\frac1{p}}$
как можно для метрики $(X,d_0) , (X,d_1),..$ , исползовать эти неравенства.?

[myra_panama]

6.(25 points) Suppose $f_n$ is a sequence of increasing functions on$ [0,1]$ (i.e., for all n, if $x_1 < x_2$ then$ f_n(x_1) < f_n(x_2)$) which converges pointwise to a continuous function $g(x)$. Prove that the convergence ia actually uniform on $[0,1]$

-- Ср июн 22, 2011 12:49:38 --

(Оффтоп)

Take $\epsilon>0$. Since f is continuous on [a,b], it follows that f is uniformly continuous on [a,b]. So we can find such $ m\in\mathbb{N}$ that $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ if $|x-y|\leq\frac{b-a}{m}$. Let $x_i=a+i\cdot\frac{b-a}{m}, i=0,...,m$. Since$ f_n(x_i)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} f(x_i)$ for all i, we can find such $N\in\mathbb{N}$ that $\forall\,n>N $ we have $ |f_n(x_i)-f(x_i)|<\epsilon.$
Suppose n>N. If $x\in[x_i,x_{i+1}]$ then
$|f_n(x)-f(x)|\leq|f_n(x)-f_n(x_i)|+|f_n(x_i)-f(x_i)|+|f(x_i)-f(x)|< |f_n(x_{i+1})-f_n(x_i)|+|f_n(x_i)-f(x_i)|+|f(x_i)-f(x)|<3\epsilon+\epsilon+\epsilon.$

[myra_panama]

Нет , ни каких коментарии .... что за олимпиада такое в Иране... ни кто не хочет помогать ... .... может для меня трудно изучать эти темы...

[myra_panama]

7.(25 points) Suppose that $p(x)$ is the interpolating polynomial of degree less than or equal to n to (n + 1)-continuously differentiable function $f(x)$ at distinct points $x_i, 0\le i\le n$. Prove that for any $k, 0\le k\le n,$ there are points $y_0,\ldots,y_{n - k}$ so that for any x there exists a corresponding $ \xi_x$ satisfying,

$$f^{(k)}(x) - p^{(k)}(x) = \frac {f^{(n + 1)}(\xi_x)}{(n - k + 1)!}\prod_{i = 0}^{n - k}(x - y_i), $$