Жорданов базис

[Maximum]

Ищу жорданов базис для матрицы

$$A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ -4&4&0\\ -2&1&2 \end{pmatrix}$$

Собственное число одно: $\lambda=2$ с алгебраической кратностью 3. Геометрическая кратность этого числа равна 2, так как ему соответствует два собственных вектора:

$$e_1=\begin{pmatrix} 1/2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$$

и

$$e_2=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$$

Жорданову форму найти-то легко. Раз геометрическая кратность равна 2, то будет две жордановы клетки, то есть ЖНФ имеет вид:

$$J=\begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2\\ \end{pmatrix}$$

А потом я хочу найти матрицу перехода. Ищу её через присоединенные вектора. Для вектора, например, $e_1$, присоединенным (первого порядка) будет такой вектор $h_1$, что $(A-\lambda E)h_1=e_1$. Для вектора $e_2$ аналогично. Присоединенные вектора вместе с собственными образуют жорданов базис. Но проблема в том, что ни один из найденных собственных векторов не имеет присоединенных. Как быть?

[RIP]

Можно взять

$$e_1=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$

Он имеет присоединенный вектор.

Добавлено спустя 9 минут 28 секунд:

Я линейную алгебру ужо забыл, но разве вектора ищутся не в обратном порядке, т.е. начиная с присоединенных?

[Someone]

Дело в том, что не любые собственные векторы годятся. Нужны те, которые лежат в двумерном инвариантном подпространстве, соответствующем жордановой клетке.

Вы можете взять уравнение $(A-\lambda E)\vec h_1=\vec e_1+t\vec e_2$ с неизвестным $t$, либо взять уравнение $(A-\lambda E)^2\vec h=\vec 0$, а потом переопределить $\vec e_1=(A-\lambda E)\vec h_1$, выбрав $h_1$ среди решений предыдущего уравнения так, чтобы получился ненулевой вектор.

[Дядя Фёдор]

Maximum писал(а):

Ищу жорданов базис для матрицы

$$A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ -4&4&0\\ -2&1&2 \end{pmatrix}$$

Собственное число одно: $\lambda=2$ с алгебраической кратностью 3. Геометрическая кратность этого числа равна 2, так как ему соответствует два собственных вектора:

$$e_1=\begin{pmatrix} 1/2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$$

и

$$e_2=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$$

Жорданову форму найти-то легко. Раз геометрическая кратность равна 2, то будет две жордановы клетки, то есть ЖНФ имеет вид:

$$J=\begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2\\ \end{pmatrix}$$

А потом я хочу найти матрицу перехода. Ищу её через присоединенные вектора. Для вектора, например, $e_1$, присоединенным (первого порядка) будет такой вектор $h_1$, что $(A-\lambda E)h_1=e_1$. Для вектора $e_2$ аналогично. Присоединенные вектора вместе с собственными образуют жорданов базис. Но проблема в том, что ни один из найденных собственных векторов не имеет присоединенных. Как быть?

$$B=\begin{pmatrix} -2&1&1\\ -4&0&2\\ -2&0&0 \end{pmatrix}$$ $$B^{-1} = \begin{pmatrix} 0&0&-1/2\\ 1&-1/2&0\\ 0&1/2&-1 \end{pmatrix}$$ C=\begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$$ B^{-1}*A*B = C

Откуда следует Жорданов базис