Комплексные числа

[Andrey173]

Помогите с решением задачи. Можете просто подсказать с чего следует начать.
Задача: Докажите, что если аргументы чисел $\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}, \frac{z_4-z_1}{z_4-z_1}$ равны между собой, то четыре точки $z_1, z_2, z_3, z_4$ лежат на одной прямой или окружности, и обратно.

[мат-ламер]

Года два назад этот вопрос ставился на форуме. Я предложил какое-то запутанное решение, основанное на свойствах дробно-линейных преобразований. После чего в сборнике задач по ТФКП прочёл более простое решение, основанное на выписывании определителя четвёртого порядка. Там суть была, что четыре точки лежат на окружности (или на прямой), то сей определитель обращается в ноль. Но подробностей как по первому, так и по второму доказательству не помню. Подождём, пока подойдут знатоки.

[nnosipov]

Есть такая хорошая книжка: И. М. Яглом, Комплексные числа и их применение в геометрии. Там это популярно объяснено. О применении комплексных чисел в планиметрии см. также главу III в другой хорошей книжке: П. С. Моденов, Задачи по геометрии, 1979. И ещё один автор: Я. П. Понарин, Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах, 2004.

[Andrey173]

мат-ламер
Вы меня прям напугали( Я взял эту задачку из книжки для школьников(Курант). В ней ничего кроме того, что там было написано знать по идеи не надо. А до этой задачи, там по комплексным числам было всего две главы: что такое комплексное число и его геометрическая интерпритация.
nnosipov
Спасибо. Буду читать.

[мат-ламер]

Так же смотрите сборник задач по ТФКП Евграфова. Задачи 1.23 и 1.26. Но там только намёки. Надо разбираться.

[Andrey173]

У меня есть идея. Дело в том, что аргумент числа $\frac{x-y}{x-z}$ равен углу yxz в треугольнике xyz.
Т.е. получается углы $z_1z_3_z_2$ и $z_1z_4z_2$ равны. Т.е. опираются на одну хорду или лежат на одной прямой.

[мат-ламер]

Как всё оказалось просто! Во-первых, в сборнике Евграфова задача формулировалась чуть по-другому. Там предполагалось, что отношение дробей (двойное отношение) - действительное число (что равносильно предложенной задаче). Во-вторых, человек, окончивший школу (я имею в виду себя), забывает простые геометрические факты. То, что совокупность вершин равных углов, опирающихся на две точки лежит на окружности - для меня прочно забытый факт (хотя случай прямых углов я помню). Наверное его можно доказать с помощью комплексных чисел. Например, рассмотреть в комплексной плоскости множество $\arg ((z-1)/(z+1))=C$ , где $C$ - действительное число в интервале $(0,\pi )$. Должна получиться окружность.

[Andrey173]

мат-ламер в сообщении #460826 писал(а):

То, что совокупность вершин равных углов, опирающихся на две точки лежит на окружности - для меня прочно забытый факт

Если честно, то я и не знал верный это факт или нет) Просто он кажется очевидным. Да и если он неверный, то и задача не выполняется)

мат-ламер в сообщении #460826 писал(а):

Например, рассмотреть в комплексной плоскости...

Мне кажется, Вы опять немного усложняете)

[arseniiv]

Почему, это-то довольно просто, везде стоят единицы, а могли бы стоять $a$ и $b$…

мат-ламер, рассмотрел. Действительно, окружность, притом всегда невырожденная, радиуса $\geqslant 1$. Уравнение такое вышло: $x^2 + (y - \ctg C)^2 = \ctg^2 C + 1$. Andrey173, преобразования довольно быстрые, попробуйте сами!

[Andrey173]

Я пару дней назад про комплексные числа узнал, а Вы мне про комплексную плоскость.
Сколько точек задают окружность? (центр не считается). Если три, то можно взять два произвольных равных угла, которые опираются на один отрезок. Рассмотреть четырехугольник ими образованный и доказать, что вокруг него можно описать окружность. А потом рассмотреть любой равный им угол, который тоже опирается на этот отрезок, и доказать, что его вершина тоже находится на окружности.

[Sonic86]

Andrey173 писал(а):

Сколько точек задают окружность? (центр не считается).

3 точки окружности. Это надо знать.

[Andrey173]

Да аналитическая геометрия только в планах
Зато понятно как доказывать)\
А так комплексная плоскость, это просто) Я думал там сложное-что-нибудь.

[arseniiv]

(А я вот без геометрии обошёлся, одной алгеброй. Очень просто!)