Преобразование матрицы со сдвигом спектра

[[AlGo]-ritm]

Здравствуйте!

Решил вот обратиться к Вам за помощью в следующей проблеме.

Предположим у нас есть симметричная действительная матрица, у которой некоторые элементы, естественно, могут быть и отрицательными. Однажды в тезисах какой-то конференции мне довелось видеть утверждение, что её можно привести к матрице, у которой все элементы неотрицательны, да причем так, что спектр этой финальной матрицы сдвинется относительно первоначального спектра на некоторую известную величину. Самому мне не удается сгенерить такое преобразование. В нескольких книжках по линалу тоже намеков на такое не нашел. Помогите, пожалуйста, если кто-нибудь знает как это можно сделать.

Заранее большое спасибо!

[ИСН]

Прибавить по главной диагонали желаемое число (сдвиг) - и опаньки!

[bot]

Не, он хочет видимо, чтобы все элементы стали неотрицательными, не только диагональные. Поэтому надо уточнять, что означает "привести". Если сначала найти подобную ей диагональную, а потом сдвинуть спектр (равносильно в другом порядке) и назад не возвращаться, то это будет означать "привести"?
Может быть типа сдвиг спектра с точностью до малого возмущения нужен?

[ИСН]

Ах, элементы. Хм. Я было не понял сначала. Тогда чёрт знает.

[[AlGo]-ritm]

Спасибо большое ответившим

Да, очень хочется чтобы именно все элементы были нетрицательными. И сделать это без построения диагонального вида... У меня вот что-то пока не получается Если мне кто-нибудь всё же сможет помочь буду просто счастлив

[bot]

[AlGo]-ritm писал(а):

И сделать это без построения диагонального вида...

А как без диагонального вида, если это собственно и есть спектр?

Напишу чуть подробнее, что я имел в виду вчера.

Спектр матрицы не меняется при подобии. Сдвиг спектра означает лишь сдвиг диагональных элементов. Малый шум на диагонали, напротив, слегка изменяет спектр, но может произвести значительные изменения недиагональных элементов.
Вот предполагаю, что комбинация этих двух преобразований и есть то, что Вам требуется.
На уровне идеи, если это верно, то где-нибудь есть.
Пусть $A$ симметричная матрица. Вам требуется найти симметричную матрицу $B$ с положительными элементами, спектр которой получается из спектра матрицы $A$ сдвигом с точностью до малого шума (при точном сдвиге заведомо не получится).

Пусть $A=T^{-1}DT$, где $D$ - диагональная матрица, а столбцы матрицы $T$ - собственные векторы матрицы $A$. Можно сразу считать (если понадобится), что собственные числа различны, иначе можно слегка пошуметь на диагональной матрице $D$. Матрицу $T$ лучше брать ортогональную.
Попробуем искать матрицу $B$ в виде:
$B=T^{-1}(D+\lambda E + N)T = A+\lambda E + T^{-1}NT$, а $N$ - "шумовая" матрица c малыми элементами -за счёт неё будут меняться внедиагональные элементы матрицы $A$. Вот теперь за счёт подбора шумовой матрицы надо добиться, чтобы довесок $T^{-1}NT$ сделал внедиагональные элементы неотрицательными. Останется за счёт выбора $\lambda$ подправить диагональные элементы $A$.
Есть ещё резерв - отказаться от ортогональности $T$, чтобы сыграть на большей неоднозначности выбора базиса собственных векторов, однако это затруднит выбор шумовой матрицы - довесок ведь должен быть симметричной матрицей.

Цитата:

Если мне кто-нибудь всё же сможет помочь буду просто счастлив

Не получится, если не уточните, что означает "привести".