Сохранение положительности ожидания

[Gortaur]

Пусть на прямой задана случайная величина $X$ с положительным МО и ограниченная снизу $x_0$. Новая величина $z(x,y) = \frac{x}{y^2+xy}$. Верно ли, что всегда существует $y_0>-x_0$ такой, что $\mathsf E z(x,y) >0$ при любых $y>y_0$.

Если нет, то нужен контрпример.

[jetyb]

Нет, функция становится отрицательной при $x=-|y_0|-1$.

[Gortaur]

jetyb
Извините, там просто М.О. не пропечаталось. Функция знакопеременная разумеется, я поправил вопрос.

[jetyb]

Распределение не непрерывное? Иначевозникнут проблемы с интегрированием и нахождением матожидания.

В дискретном случае контрпример:
$P(x=-1)=P(x=2)=\frac{1}{2}$
Матожидание при больших положительных $y$ ,будет отрицательным.

[Gortaur]

Разве? У меня получилось

$$ \mathsf E z(x,y) = \frac 1 2 \left(\frac{2}{y^2+2y} - \frac{1}{y^2-y}\right) = \frac{y^2-3y}{2(y^2+2y)(y^2-y)}. $$

То есть при $y_0 = 4$ все получается. Кстати, для корректности интегрирования можно считать, что интегрирование ведется по хорошей части функции, я поправил вопрос, ограничив $X$ снизу.

[_hum_]

По сути (если я правильнопонял), имеется

$$\eta_\varepsilon = \frac{\varepsilon \xi}{1 + \varepsilon \xi}, $$

где $\xi \geq x_0$, $\mathbf{E}\xi > 0$. И спрашивается, можно ли при всех достаточно малых $\varepsilon>0$ гарантировать неотрицательность матожидания $\eta_\varepsilon $.

Возможно, стоит попробовать использовать срезки $\xi^c = \max\{\xi,c\}$ и то, что для них:

$$ \frac{\varepsilon \xi^c}{1 + \varepsilon \xi^c} = \varepsilon \xi^c + O\big(\varepsilon^2 (\xi^c)^2\big), \varepsilon \rightarrow 0. $$

А значит, соответствующее матожидание тоже с точностью до второго порядка малости по $\varepsilon$ будет совпадать с $\mathbf{E}\xi ^c$. Ну и как-нибудь потом воспользоваться теоремами о предельном переходе под интегралом Лебега...

[Gortaur]

Уже решил, спасибо. Если нужно, могу привести решение.

[_hum_]

Ну, если небольшое, то интересно было бы взглянуть.