Измеримые функции

[JMH]

Пусть $X$ - произвольное измеримое пространство, $f:X\to\mathbb{R}$ - измеримая функция, топология в $\mathbb{R}$ стандартная. Является ли $f^{-1}(x)$ измеримым множеством и если да, то почему? $x$ - произвольная точка, например 0; согласно определению, функция является измеримой, если прообраз любого открытого множества (в данном случае в $\mathbb{R}$), является измеримым множеством (в данном случае принадлежит $\sigma$ - алгебре, определенной на $X$).

[--mS--]

Точка принадлежит сигма-алгебре в $\mathbb R$, порожденной всеми открытыми подмножествами $\mathbb R$. Соответственно, прообраз точки тоже является измеримым в $X$.

[JMH]

Спасибо за ответ. Верно ли утверждение: любое подмножество измеримого множества измеримо?

[--mS--]

Хм, странный вопрос. Нет, разумеется.

[_hum_]

JMH в сообщении #459945 писал(а):

Пусть $X$ - произвольное измеримое пространство, $f:X\to\mathbb{R}$ - измеримая функция, топология в $\mathbb{R}$ стандартная. Является ли $f^{-1}(x)$ измеримым множеством и если да, то почему?

Вообще говоря, некорректная постановка вопроса. Структура измеримого пространства в общем случае никак не связана с топологической структурой. Если же все-таки такая связь предполагается, то речь ведут не о "произвольном измеримом", а о пространстве с борелевской сигма-алгеброй.

Далее,

Цитата:

функция является измеримой, если прообраз любого открытого множества (в данном случае в $\mathbb{R}$), является измеримым множеством (в данном случае принадлежит $\sigma$ - алгебре, определенной на $X$)

Это некий вариант определения измеримости по Борелю. Стандартное же (и более общее) определение измеримости отображения - это измеримость прообраза всякого измеримого множества. В данном случае эти понятия оказываются эквивалентными, поэтому можно пользоваться и тем, и другим, но вобщем случае это не так.

[JMH]

Т.е. в данном случае измеримость прообраза точки в $\mathbb{R}$ определяется стандартной топологией и замкнутостью $\sigma$ - алгебры по пересечению?

-- Вс июн 19, 2011 09:29:48 --

_hum_ в сообщении #459970 писал(а):

Вообще говоря, некорректная постановка вопроса.

Вопрос возник потому, что в доказательстве одной теоремы упоминалось, как само собой разумеещееся, что прообраз точки 0 в $\mathbb{R}$, для любой измеримой функции, является измеримым множеством.

[_hum_]

Если вопрос ко мне, то ответ таков:
если изначально имелась в виду обычная измеримость (F/B-измеримость), то измеримость прообраза точки вытекает из самого определения и того, что точка является борелевским множеством. Если же предполагалось, что функция измерима именно по Борелю (прообраз всякого полуинтервала - измеримое множество), то есть два варинта:
либо воспользоваться теоремой о том, что измеримость по борелю равносильна F/B-измеримости, либо косвенно ее доказать, представив точку в виде пересечения полуинтервалов и воспользовавшись тем, что прообраз пересечения есть пересечение прообразов.

[--mS--]

А если ко мне, то у меня взгляд с привычной мне стороны:
1) Если прообраз любого открытого множества измерим, то прообраз любого множества, принадлежащего сигма-алгебре, порожденной всеми открытыми множествами, измерим. Просто потому, что множества, прообразы которых измеримы, образуют сигма-алгебру, не меньшую, чем та, что порождена набором открытых множеств.
2) Точка (одноточечное множество) принадлежит сигма-алгебре, порождённой открытыми множествами. Например, из-за замкнутости последней по счётным пересечениям. Поэтому её прообраз измерим.

[JMH]

Стандартная топология в $\mathbb{R}$ отличается от системы поуоткрытых интервалов; в нашем случае, полагаю, имеет место следующее: имеем стандартную топологию в $\mathbb{R}$ и измеримую ф-ю $X\to\mathbb{R}$; это означает, что прообразы всех окрестностей в $\mathbb{R}$ измеримы; точку в $\mathbb{R}$ можно представить, как пересечение счётного числа окрестностей; $\sigma$ - алгебра замкнута по пересечению, т.о. прообраз точки - пересечение счётно числа измеримых множеств $X$ измерим.

-- Вс июн 19, 2011 09:48:03 --

--mS-- в сообщении #459992 писал(а):

2) Точка (одноточечное множество) принадлежит сигма-алгебре, порождённой открытыми множествами. Например, из-за замкнутости последней по счётным пересечениям. Поэтому её прообраз измерим.

Да, именно так я и понял. Большое спасибо всем за обсуждение!

[--mS--]

Не поняла, при чём тут полуинтервалы. Ну да ладно :)

[JMH]

--mS-- в сообщении #460014 писал(а):

Не поняла, при чём тут полуинтервалы. Ну да ладно :)

Это я по поводу поста _hum_...