уровнение риккати df\dx+f^2=ax^2+b; a,b=const

[baga]

помогите решить уровнение Риккати: $df+f^2dx=(ax^2+b)dx; a=const, b=const$
я смог решить для частного случая когда а=0, дальше решить затрудняюсь

[Sonic86]

Нагуглил:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1% ... 1%82%D0%B8

[Алексей К.]

Нет, Sonic86,
если Вы имеете в виду википедное уравнение (**), "специальное", то это не тот случай, что у автора. Малость путают, видимо, разные обозначения. В терминах $y(x)$ у него
$y'=({-})y^2+(ax^2+b)$, а там $b=0$:
$y'=\hphantom{({-})}y^2+(ax^\alpha)\quad(**)$

[Sonic86]

Алексей К., я думал, что все остальные случаи уравнения Рикатти неразрешимы, исключая тот, что в Вики Или это не так?

[Алексей К.]

По-моему, не так.
В справочнике Э. Камке перечислены 4 случая разрешимости уравнения $y'=f(x)y^2+g(x)y+h(x)$. Первый, если память не подводит, $f+g+h\equiv0$. Четвёртый какой-то совсем заковыристый. Случай автора темы, $g(x)=0$, почему-то не рассмотрен. Искал я его и в главе с примерами, но не нашёл. То ли действительно нет, то ли книжка из рук слишком рано выпала.

Не помню, что на эту тему написано у Егорова. Как-то попадалась статья в arhive, типа "а вот ещё такое разрешилось", но весьма хитросплетённое.

-- 16 июн 2011, 13:24 --

Ну да, к случаю $g(x)=0$ вроде любое уравнение приводится, и это не сильно облегчает жизнь.

[Gortaur]

В уравнении Рикати либо можно угадать корень, либо нет. Так что чего уж легче просто посмотреть решение данного уравнения и понять, что дело шляпа.

А именно, и Maple и Mathematica дают одно решение для данного уравнения через спец. функции, конретно через функции параболического цилиндра.

Мало чем поможет, потому данные функции определяются как решения уравнения второго порядка.

[mitia87]

Ещё есть один частный случай для примера: $a = b^2$.
Тогда $y_0 = bx$ - частное решение и замена $y = y_0 + \frac{1}{u}$ сводит к линейному уравнению.

[baga]

во многих литературах написано что такой вид ур.Риккати не решаются в квадратурах, а что это обозночает?

[Алексей К.]

topic38389.html

[baga]

извините но я ни как не могу решить, может кто нибуть дать полный ответ?

[Алексей К.]

Так никто не может. Не решается оно. Желанного "ответа", видимо, не существует в природе. Решается численно, при конкретных а и бэ, и начальных условиях.
У Вас это учебная задача, или жизнь дала такую трещину?