Теорвер. Как найти характеристич. ф-ю?

[farewe11]

Добрый вечер. У меня есть 2 вопроса по теорверу, помогите, пожалуйста, с составлением алгоритма решения.
1. Дана производящая функция совместного распределения величин $a$ и $b$. Нужно найти одномерные распределения этих величин. Функция выглядит так:

$$F_{a, b}(z) = e^{\lambda\cdot(p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)}$$

$$p_1+p_2+p_3=1; p_i\geq 0$$

2. Найти характеристическую функцию распределения, имеющего плотность:

$$ p_\alpha(x)=\begin{cases} \alpha\cdot(1 - \alpha\cdot|x|),$\text{$|x|\leq\alpha^{-1}$;}\\ 0,&\text{$|x|>\alpha^{-1}$.} \end{cases} $$

В задаче 1: чтобы найти равномерные распределения, нужно проинтегрировать плотности, как получить плотности из производящей функции?
В задаче 2: не понимаю, что надо сделать.

[--mS--]

farewe11 в сообщении #459681 писал(а):

В задаче 1: чтобы найти равномерные распределения, нужно проинтегрировать плотности, как получить плотности из производящей функции?

Напишите определение двойной производящей функции и подумайте, как из двойной п.ф. получить п.ф. каждой из случайных величин в отдельности. О каких вообще плотностях речь?

farewe11 в сообщении #459681 писал(а):

В задаче 2: не понимаю, что надо сделать.

Написать определение характеристической функции, подставить в него данную плотность и вычислить.

[alisa-lebovski]

Производящие функции бывают от дискретных целочисленных величин.

[--mS--]

alisa-lebovski в сообщении #459907 писал(а):

Производящие функции бывают от дискретных целочисленных величин.

Не хотите дать ТС возможность ответить?

[farewe11]

Цитата:

Написать определение характеристической функции, подставить в него данную плотность и вычислить.

$$\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, f_X(x)\, dx$$

Если подставим в это определение наше выражение для плотности, получим такой интеграл:

$$\int\limits_{-\alpha^{-1}}^{\alpha^{-1}}e^{itx}\alpha(1-\alpha\cdot |x|)dx$$

Осталось только выяснить, откуда взять $t$, и что это за $t$ вообще такое. Это единственное непонятное место.

[ИСН]

t - это буква. Вы что хотите получить в итоге? Функцию? Какую функцию? От чего?

[Gortaur]

Подсказка - посмотрите от чего у Вас зависит характеристическая функция.

[farewe11]

Характеристическая функция зависит от $t$. Вот я и хочу узнать смысл этой переменной? Вообще характеристическая функция нужна для того, чтобы однозначно восстанавливать по ней функции распределения случайных величин.
Моё первое знакомство с ней пока проходит неудачно.. :)

[Gortaur]

А, Вам смысл нужен. Мэтры его приведут, а я от себя скажу пока. Дело в том, что случайнай величина на прямой по сути задается своей функцией распределения. Дана функция определения - мы знаем, что у нас за случаная величина. С другой стороны, удобно всякий моменты использовать вроде МО и дисперсии. Но они являются числовыми характеристиками, несут неполную информацию. Например, есть бесконечно много случаных величин с одним и тем же мат. ожиданием.

Характеристическая функция - это преобразование функции распределения, $t$ - служебная переменная, параметр, нужная для того, чтобы на выходе получить функцию а не просто числовую характеристику. По сути это как преобразование Фурье, то есть разложение плотности вероятности по частотам.

В любом случае, можно и нужно по началу воспринимать х.ф. как очень удобный инструмент и не более. Существует она всегда, моменты из нее легко получить дифференцированием, независимость доказывается через нее быстро.

[farewe11]

А чтобы получить х.ф., достаточно проинтегрировать плотность, правильно ведь?
В принципе, я понял, спасибо. надо Ваше сообщение копипастить в книги по теорверу, ибо нигде я не видел более-менее подробного описания х.ф. :)

Со второй задачей тогда всё понятно. Осталось разобраться с первой, про производящую функцию. Каков же алгоритм?

[--mS--]

farewe11 в сообщении #460439 писал(а):

Осталось разобраться с первой, про производящую функцию. Каков же алгоритм?

Вам уже дали совет. Повторю. Напишите определение двойной производящей функции и подумайте, как из двойной п.ф. получить п.ф. каждой из случайных величин в отдельности.

[farewe11]

Определение двойной п.ф. величин $a$ и $b$:

$$\sum p_{j,k}s^js^k$$

Где $p_{j,k}=P[a=j, b=k]$

От меня, кстати, требуется найти не одинарные п.ф., а функции распределения каждой из величин..

-- Вт июн 21, 2011 00:26:27 --

Забыл добавить. А определение одинарной п.ф.:

$$\sum\limits_{i=1}^\infty e^{tx_i}p_i$$

Вот как раз и неясно, как выразить одно через другое... связи не наблюдаю.

[--mS--]

farewe11 в сообщении #460450 писал(а):

Определение двойной п.ф. величин $a$ и $b$:

$$\sum p_{j,k}s^js^k$$

Где $p_{j,k}=P[a=j, b=k]$

Неверно. Посмотрите, от чего зависит двойная п.ф. у Вас в условии. От переменной $s$?

farewe11 в сообщении #460450 писал(а):

От меня, кстати, требуется найти не одинарные п.ф., а функции распределения каждой из величин..

Тоже неверно. Прочтите, что требуется найти. Требуется найти распределение. Чтобы это сделать, не обязательно искать функцию распределения.

farewe11 в сообщении #460450 писал(а):

Забыл добавить. А определение одинарной п.ф.:

$$\sum\limits_{i=1}^\infty e^{tx_i}p_i$$

И тоже неверно. Нам не нужна производящая функция моментов. Откройте учебник, а не википедию. И запишите обе производящих функции через математическое ожидание. Например, п.ф. целочисленной случайной величины $X$ есть $\psi_X(z)=\mathsf Ez^X$. А двойная п.ф. пары случайных величин?