Распределение функции от случайной величины

[re3burn]

Случайная величина $\xi$ имеет следующую плотность:
$ f_{\xi}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\notin$[-1;1],}\\ 0.5(x+1),&\text{$x$\in$[-1;1].} \end{cases} $
Найти распределение случайной величины \eta=2sign(\xi), где
$ sign(x)=\begin{cases} -1,&\text{$x$\in$(-$\infty$;0),}\\ 0,&\text{$x$=0,}\\ 1,&\text{$x$\in$(0;+$\infty$).} \end{cases} $
Проблема: не могу даже начать решать задачу ввиду особенности функции "сигнум": эта кусочно-постоянная функция не имеет обратной.
Как вообще решать такого рода задачи с кусочно-постоянными функциями. В задачниках в основном приводятся примеры и задачи с функциями, для которых существует обратная, либо с функциями, которые можно разбить на отрезки монотонности и найти соответствующую обратную функцию на каждом из отрезков.
Заранее спасибо)

[mihailm]

Пусть F(x) искомая функция распределения
Чему равно F(0)?

[re3burn]

0

[mihailm]

Забыл спросить как у вас функция распределения определяется?)

[re3burn]

Имеете ввиду $F_{\xi}$?

[mihailm]

например

[re3burn]

Случайная величина $\xi$ имеет следующую функцию распределения:
$ F_{\xi}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\in$(-$\infty$;-1),}\\ 0.25(x+1)^2,&\text{$x$\in$[-1;1],}\\ 1,&\text{$x$\in$(1;+$\infty$).} \end{cases} $

[mihailm]

это правильно (немного ввел в заблуждение) но я имел в виду общее определение функции распределения там меньше или меньше или равно?

[re3burn]

Это вся информация по задаче.)

-- Сб июн 18, 2011 23:51:40 --

Надо найти $F_{\eta}$.
Плотности у $\eta$ не существует, т.к. это будет дискретное распределение.

[--mS--]

re3burn в сообщении #459629 писал(а):

Надо найти $F_{\eta}$.
Плотности у $\eta$ не существует, т.к. это будет дискретное распределение.

1) Дайте определение $F_\eta(x)$.
2) Какие значения принимает случайная величина $\eta$ и с какими вероятностями?

[mihailm]

(Оффтоп)

извините отвлекли)

Тут надо по определению действовать
А чему равно F(0,5)?

[ИСН]

Говорить о дискретных распределениях в терминах $F_\eta$ можно, конечно, но совершенно противоестественно.
re3burn, решите другую задачку. Начало такое же, как у Вашей, а вторая половина (со слова "Найти") такая:
Найти (в каких угодно терминах) распределение величины $\zeta$, которая от $\xi$ не зависит вовсе, а определяется броском идеальной монеты: 1, если орёл, и -1, если решка.

[alisa-lebovski]

Надо просто посчитать, с какой вероятностью исходная величина $\xi$ попадает в ту или иную область значений $sign$ (-1,0,1). Это даст вероятности соответствующих значений $\eta$.

[re3burn]

Т.е. фактически нужно найти вер-ти того, что величина $\xi$ попадёт в отрезки $[-1;0)$ и $(0;1]$ (это я найду путём интегрирования плотности $f_{\xi}$ в соответствующих пределах). Тогда я фактически смогу приравнять значение вероятности того, что величина $\eta$ примет значение -2, значению вероятности того, что $\xi$ попадёт в отрезок $[-1;0)$, а вероятность того, что величина $\eta$ примет значение 2, равна вероятности того, что $\xi$ попадёт в отрезок $(0;1]$.
Скажите, я правильно рассуждаю?

[--mS--]

re3burn в сообщении #459798 писал(а):

Тогда я фактически смогу приравнять значение вероятности того, что величина $\eta$ примет значение -2, значению вероятности того, что $\xi$ попадёт в отрезок $[-1;0)$, а вероятность того, что величина $\eta$ примет значение 2, равна вероятности того, что $\xi$ попадёт в отрезок $(0;1]$.
Скажите, я правильно рассуждаю?

Ответ правильный, а рассуждаете неправильно. Зачем насильственно приравнивать друг другу какие-то вероятности, если они равны по жизни просто оттого, что под ними стоит одно и то же событие?