Некоторые задачи ОТО, СТО.

[LynxGAV]

Задача по физике, в которой от физики одно название, так что приглашаются все желающие.

Декартовы компоненты вектора ускорения
$\begin{cases} a_x = \frac{d^{2}x}{dt^2},\\a_y = \frac{d^{2}y}{dt^2}, \\a_z = \frac{d^{2}z}{dt^2}.\end{cases}$

Найти компоненты этого векторы в сферических координатах.

У меня получилось $a_r = \ddot r - r {\dot \theta}^2 - r {\dot \varphi}^2 \sin^{2}\theta$; $a_{\theta} = r\ddot \theta + 2 \dot r \dot \theta - r {\dot \varphi}^2 \sin\theta\cos\theta$; $a_{\varphi} = 2 r \dot \varphi \dot \theta \cos \theta + \left(r\ddot \varphi + 2\dot \varphi \dot r \right) \sin\theta$.

Ecли бы кто-то еще свой ответ сказал, а то у меня были несколько громоздкие вычисления, второй раз пересчитать духу не хватит =)).
Вообще может кто-то скажет (не думала и секунды) как посчитать через коэффициенты связности (символы Кристофеля)? (Мне они не понадобились.)

[Аурелиано Буэндиа]

Всё верно. Я проверял на Maple. Даже придраться не к чему...

[LynxGAV]

Что тут скажешь. Спасибо, что подтвердили. А как это делается в Maple? Я посчитала по-тупому. Надо найти в сферических координатах - найдем всё в сферических координатах, т.е. выразила вторые производные от координат, а матрицу преобразования между единичными векторами - через коэффициенты Ламэ или направляющие косинусы (или еще как-то). Подставила, перегруппировала и просуммировала. Всё.

Но все-таки интересует решение другим спосом, потому что студент, который попросил решить, учит ТО.

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV писал(а):

Но все-таки интересует решение другим спосом, потому что студент, который попросил решить, учит ТО.

способов, конечно, куча, но в Maple я делал так:
Вычисляем $x''=\frac{\partial^2}{\partial t^2}r\sin(\theta)\cos(\phi),\ y''= ...$,
а затем находим $({\bf e}_r,{\bf r}'')$, $({\bf e}_{\theta},{\bf r}'')$, и т.д.
Я бы показал код на Maple, но я его не сохранил. Обычно не сохраняю. Но
если очень нужно могу воспроизвести. Кстати, если он изучает ТО, то
нужно писать $e_{\hat{\theta}}$, $e_{\hat{\phi}}$, поскольку это
локальный базис, $e_{\theta},\ ...$ - координатный базис, причем
$e_{\hat{\phi}}$ - \neq e_{\phi}$, ...

[LynxGAV]

Вот и я поглядела и быстрым сканированием не поняла, что там было. (С техом.)

По поводу базиса. Задача сформулирована именно так, как я написала. Решена верно. А как мы обозначаем (в книгах и так и так бывает), это наше личное дело, если мы оговариваем, что мы считаем. (Не дай Бог, если еще и картинка нарисована с двумя системами и всеми расставленными векторами. Тогда..)

Вспомнила прикол Зимы с лекций:

всякому понятно следующее... или КАЖДОМУ понятно что...

[Аурелиано Буэндиа]

Цитата:

Вот и я поглядела и быстрым сканированием не поняла, что там было. (С техом.)

Да, коряво вышло. Тот способ, который я пытался описать, удобен только тогда, когда
вычисляет машина. В общем, записываем \ddot{\vec{r}} и базисные
векторы в декартовых координатах.Находим проекции. А потом
записываем разложение. И всё

Цитата:

По поводу базиса. Задача сформулирована именно так, как я написала. Решена верно. А как мы обозначаем (в книгах и так и так бывает), это наше личное дело, если мы оговариваем, что мы считаем. (Не дай Бог, если еще и картинка нарисована с двумя системами и всеми расставленными векторами. Тогда..)

Пожалуй соглашусь

Цитата:

Вспомнила прикол Зимы с лекций:
всякому понятно следующее... или КАЖДОМУ понятно что...

Зимы???? я люблю зиму со снегом... [/quote]

[LynxGAV]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

А затем находим $({\bf e}_r,{\bf r}'')$, $({\bf e}_{\theta},{\bf r}'')$, и т.д.

Расшифруйте пожалуйста.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Да, коряво вышло. Тот способ, который я пытался описать, удобен только тогда, когда вычисляет машина. В общем, записываем $\ddot{\vec{r}}$ и базисные векторы в декартовых координатах. Находим проекции. А потом
записываем разложение. И всё.

Я не машина - вышло на страницу А-4, но плотненько. Проекции - это мои направляющие косинусы?. Что-то совсем я за Вами не следую.
Короче, вроде тоже самое Вы говорите.
PS Зима В.Г. - преподаватель такой был..

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV
Вот написал код для Mapla. Неплохое получилось упражнение:
>restart; # Это на всякий случай
>alias(r=r(t),theta=theta(t),phi=phi(t));
>x[1]:=r*sin(theta)*cos(phi); x[2]:=r*sin(theta)*sin(phi); x[3]:=r*cos(theta);
>a:=seq(simplify(diff(x[n],t$2)),n=1..3);
>e[r]:=sin(theta)*cos(phi),sin(theta)*sin(phi),cos(theta);
>e[theta]:=cos(theta)*cos(phi),cos(theta)*sin(phi),-sin(theta);
>e[phi]:=-sin(phi),cos(phi),0; simplify(sum(e[phi][n]^2,n=1..3));
>w[r]:=collect(simplify(sum(e[r][n]*a[n],n=1..3)),[r,diff(phi,t)]);
>w[theta]:=collect(simplify(sum(e[theta][n]*a[n],n=1..3)),[diff(phi,t)]);
>w[phi]:=collect(simplify(sum(e[phi][n]*a[n],n=1..3)),[sin(theta),cos(theta)]);
Можеш скопировать в Maple и запустить. На выходе получешь:
w_r= (-1+\cos(\theta)^2)\dot{\phi}^2-\dot{\theta}^2)r+\ddot{r}, и т.д.
Это и есть компоненты ускорения в сферической системе координат.

PS Кстати, символы Кристофеля здесь совсем не нужны. Если уж так хочется
воспользоваться принципом ковариантности, то нужно вычислить
\tilde{a}^{\mu}=\frac{\partial \tilde{x}^{\mu}}{\partial x^{\nu}} a^{\nu}
ну а потом перейти, с помощью тетрад, в локальную систему координат.

[вв]

дико изв. но сферическиекоординаты, как любые криволинейные, не имеют смысла векторов.

[LynxGAV]

вв
В любой книге в разделе "Сферические полярные координаты" вы сможете увидеть, что в них вектор выражается cледующим образом: $\vec a=a_r\hat{\vec e}_r+a_{\theta}\hat{\vec e}_{\theta}+a_{\varphi}\hat{\vec e}_{\varphi}$.
Хотите контра- и ковариантные? Да, пожалуйста!

Аурелиано Буэндиа
Студент задачу сдал, можно расслабиться .
Я имела ввиду следующее. Не хочу через ускорение и скорость, хочу все через координаты с точками .
$x^i = f (x'^i)$
$\frac {dx'^i}{dt} = \frac {\partial x'^i}{\partial x^j}\frac {dx^j}{dt}$
$\left( \begin{array}{ccc} \dot r \\ \dot\theta \\ \dot\varphi \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \varphi & \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \\ \frac {\cos \theta \cos \varphi}{r} & \frac {\cos \theta \sin \varphi}{r} & -\frac {\sin \theta}{r} \\ -\frac {sin \varphi}{r \sin \theta} & \frac {\cos \varphi}{r \sin \theta} & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \dot x \\ \dot y \\ \dot z \\ \end{array} \right) $
(Лень по-нормальному донабирать..)
А вот теперь я хочу $a'^i$, которые выразятся через вторую производную по времени + слагаемое с символами Кристофеля второго рода. Если я знаю метрику $g_{ij} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & . & 0 \\ . & r^2 & . \\ 0 & . & r^2 \sin^{2}\theta \end{array} \right) $,
то считаю aффинность ${\Gamma}_{jk}^{'i}$ и получаю желаемое! Не сделаете в Maple? А?

PS Коли лень считать связи, то они и в конце книг часто бывают, у меня есть.

[Аурелиано Буэндиа]

Можно и так. Можно сделать и через \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}
в Maple. Но есть ли смысл? Непонятно для чего это нужно

[LynxGAV]

Цитата:

Был еще вопрос - а на хрен оно кому-то нужно? Ну, тут уж ответ понятен - "Вы, тетенька, удовлетворите мое детское любопытство."

Мне это не горит. Но мне очень интересно и заодно результаты Maple сверить . (А какая возможность заиметь чей-то код .)
Сделайте по возможности...

[Аурелиано Буэндиа]

С удовольствием удовлетворю Ваше любопытство.

LynxGAV писал(а):

А какая возможность заиметь чей-то код ...

Как заиметь не знаю, но я бы делал так:
> with(tensor);
> coord:=[r,theta,phi]:
g_compts:=array(symmetric,sparse,1..3,1..3):
g_compts[1,1] := 1: g_compts[2,2] := r^2:
g_compts[3,3] := r^2*sin(theta)^2: g := create( [-1,-1], eval(g_compts));
>ginv:= invert (g, 'detg'):
D1g:= d1metric (g, coord):
Cf1:= Christoffel1 (D1g):
> Cf2:= Christoffel2 (ginv, Cf1):
> displayGR(Christoffel2,Cf2);
после этого на экране появятся ненулевые значения \{\sigma,\mu\nu \}=\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}.
А дальше вычисляем ускорение в сферических координатах (координатный базис)
по формуле:
a^{\sigma}=\ddot{x}^{\sigma}+\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}, здесь разумеется x^{\sigma}=(r,\theta,\phi).
Для примера, я расписываю случай \sigma=1:
\{1,22\} = -r, а \{1,33\} = -r*sin(\theta)^2, поэтому
a^{1}=\ddot(r)+\Gamma^{1}_{22}\dot{\theta}^2+\Gamma^{1}_{33}\dot{\phi}^2= \ddot{r}-r\dot{\theta}^2-r\sin(\theta)^2\dot{\phi}^2,
ну и так далее.

[LynxGAV]

Почему я не машина. Потому что человек.

[LynxGAV]

Вы не находите, что второй способ в случае не машинного вычисления намного проще?

Кстати, а знаете как еще можно найти символы Кристофеля кроме тупого прямого вычисления? (Я да...)