Разноцветные корзины

[Lion]

Рассмотрим множество из $n\ge3$ различных шаров, которые требуется распределить по корзинам, окрашенным в белый, синий или красный цвет. Положим
(rb) = числу таких размещений n шаров по корзинам, что не все синие и красные корзины пусты;
(w) = числу таких размещений n шаров по корзинам, что все шары сосредоточены в белых корзинах.
Докажите, что $(w)\neq(rb)$.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. maxal , пожалуйста, если знаете ссылку на решение, не выкладывайте ее сразу, дайте и другим порешать! (К тому же задача совсем несложная, долго ждать не придется.)

[maxal]

А сколько имеется корзин каждого цвета?
И что понимается под "размещениями"? Какие размещения считаются одинаковыми/различными?

[Lion]

Ура! maxal, судя по всему, не знает этой задачи! Жить можно...

Насчет условия: количество корзин каждого цвета произвольно, все корзины упорядочены, и все шары разные, т.е. размещения считаются одинаковыми, если для каждой корзины для первого размещения эта же корзина при втором размещении содержит те же шары.

[maxal]

Или я чего-то не понял, или
(rb) > (r) + (b)
(r) = (b) = (w)
и поэтому
(rb) > 2*(w).

[Capella]

Простите мою наивность, но откуда следует:

maxal писал(а):

(r) = (b) = (w)

[RIP]

Че-то не понял. Вот это правильное решение?:
Всего способов раскидать по корзинам $(rb)+(w)=(N_{rwb})^n$, $N_{rwb}$ - число корзин. $(w)=(N_w)^n$, $N_{w}$ - число белых корзин. Но равенство
$2(N_w)^n=(N_{rwb})^n$ is impossible.
Почему $n\geqslant3$?

Добавлено спустя 48 минут 42 секунды:

Lion писал(а):

(rb) = числу таких размещений n шаров по корзинам, что не все синие и красные корзины пусты;

Тут встал вопрос: Как трактовать эту фразу?
"Хотя бы одна красная или синяя корзина непуста" или
"Хотя бы одна красная корзина непуста и хотя бы одна синяя корзина непуста "?
Подозреваю, что второе вернее, а то уж совсем простое решение.

Добавлено спустя 8 минут 50 секунд:

Вот решение
По принципу включения-исключения
$N^n-(rb)=(N-N_b)^n+(N-N_r)^n-(w)$
Если б было $(rb)=(w)$, получили бы пртиворечие с ВТФ.

Добавлено спустя 3 минуты 41 секунду:

Поясняю:
$N$ - число корзин, $N_{\text{буква}}$ - число корзин цвета "буква".

Добавлено спустя 4 минуты 5 секунд:

Осталось доказать ВТФ либо поверить на слово умным дяденькам, утверждающим, что ВТФ (точнее, гипотеза Таниямы-Шимуры) доказана.

Добавлено спустя 12 минут 7 секунд:

А можно попробовать доказать, что $(w)\ne(rb)$, другим способом и получить новое док-во ВТФ!

[maxal]

Capella писал(а):

Простите мою наивность, но откуда следует:

maxal писал(а):

(r) = (b) = (w)

Из симметрии: количество размещений всех шаров в красные корзины равно количеству размещений всех шаров в синие корзины. Биекцию между такими размещениями можно установить перекрашивая красные корзины в синие, а синие наоборот - в красные. Аналогично устанавливается биекция с размещениями всех шаров в белые корзины.

[RIP]

maxal писал(а):

Capella писал(а):

Простите мою наивность, но откуда следует:

maxal писал(а):

(r) = (b) = (w)

Из симметрии: количество размещений всех шаров в красные корзины равно количеству размещений всех шаров в синие корзины. Биекцию между такими размещениями можно установить перекрашивая красные корзины в синие, а синие наоборот - в красные. Аналогично устанавливается биекция с размещениями всех шаров в белые корзины.

Lion писал(а):

количество корзин каждого цвета произвольно

[maxal]

"Произвольно" я трактовал как неограничено.

Добавлено спустя 4 минуты 54 секунды:

RIP писал(а):

Че-то не понял. Вот это правильное решение?:
Всего способов раскидать по корзинам $(rb)+(w)=(N_{rwb})^n$, $N_{rwb}$ - число корзин.

Корзины одного цвета неразличимы по условию. Поэтому число всех размещений не равно $(N_{rwb})^n.$

[RIP]

Lion писал(а):

все корзины упорядочены

[maxal]

Да, невнимательно прочитал условие.

[Capella]

Я думаю, что количество корзин разного цвета не обязательно должно быть одинаковым (поэтому биекция и невозможна).

Помимо этого вопроса и вопроса RIP, возникает ещё один вопрос, а именно почему

$$n \geqslant 3$$

?

Lion писал(а):

(rb) = числу таких размещений n шаров по корзинам, что не все синие и красные корзины пусты

Даже если учесть, что условие подразумевает под собой по одной непустой синей и красной, то пустыми могут всё-же оставаться белые корзины, поэтому наверное правильнее написать

$$n \geqslant 2$$

[Lion]

Решение RIP'а насчет ВТФ верно (напрасно Вы, RIP, смеялись!), и именно поэтому $n\ge3$. Данная задача действительно представляет собой переформулировку ВТФ, т.е. она верна и в обратную сторону (попробуйте доказать --- это тоже просто), и она была найдена Квайаном в 1989 г. Насчет ВТФ, есть замечательная книга: Рибенбойм, "Последняя теорема Ферма для любителей". В ней приведены и многие другие переформулировки ВТФ.

Добавлено спустя 1 час 6 минут 38 секунд:

Приношу свои извинения за неточности в формулировке условия (вследствие чего было предложено около 5 решений, которые при разных интерпретациях условия можно считать правильными). Просто когда видишь написанные задачу и решение, сложно представить себе, что возможны иные трактовки условия.