Преобразование числовой таблицы

[sbidujko]

Задача Ленинградской олимпиады 1980 года
В клетках квадратной таблицы с $N$ строками и столбцами записаны вещественные числа. Разрешается вместо любых двух чисел записать в обе клетки их среднее арифметическое. Найдите все натуральные числа $N$, при которых для любой начальной расстановки чисел в таблице такими операциями можно добиться того, чтобы во всех клетках были записаны одинаковые числа.

[zhekas]

Только для степеней двойки.

для не степеней двойки, нельзя уравнять таблицу, состоящую из одной 1 и остальных 0. Так после уравнения, все элементы должны быть равны $\frac{1}{n^2}$, а у нас после каждого такого преобразования знаменатель может быть равет только степени двойки

[sbidujko]

Хорошо, а для степеней двойки, кроме тривиального случая $N=2$ как их уравнять?

[ИСН]

Уравнять одну половину, потом отдельно другую, а потом пройтись ещё разок, беря по одному элементу из разных половин. Правда, надо уметь уравнивать половину. Но вот Вы, говорите, умеете уравнивать 2? Ну значит, сумеете и 4.