Квантовая механика, частица в потенциальной яме.

[ewert]

obar в сообщении #459021 писал(а):

Я, как и другие кто здесь высказывался, пользуюсь стандартным определением

$$ \langle\psi,A\varphi\rangle=\langle A\psi,\varphi\rangle, $$

со стандартным скалярным произведением.

ewert в сообщении #458448 писал(а):

Нет. Это Вы показываете всего лишь, что он симметричен. Самосопряжённость же (т.е. совпадение со своим сопряжённым) -- это более жёсткое требование. В данном конкретном случае самосопряжённости нет: сопряжённый оператор определён на множестве функций, для которых не поставлено вообще никаких граничных условий, т.е. существенно шире.

[Bulinator]

Это определение неправильно? Всмысле, у нас определено скалярное призведение на всем $\mathbb{R}$, все функции, которые мы рассматриваем раскладываются по базису $\Psi_n$... Заметьте, что во время всей переписки я полагаю, что в.ф. определены на всем $\mathbb{R}$, просто вне ямы они просто равны нулю(см. ниже). Следовательно, эти функции из $L_2(\mathbb{R})$.

ewert в сообщении #458902 писал(а):

Отвечу, естественно, что ничему. Нет-нет, не нулю, конечно; а вот именно что ничему. Этого отрезка в рамках данной задачи просто не существует.

Вооот, вот где собака зарыта! Задача требует найти в.ф. а значит найти вероятность обнаружени частицы во всей Вселенной а не только на отрезке. С чего Вы взяли, что автору задачи неинтересна вероятность обнаружения частицы на отрезке (100,101)? Ну и что что там потенциал бесконечный? Вообще-то, это задача из физики и словосочетание "бесконечный потенциал" означает "огромный, такой, что его можно считать бесконечным с достаточной точностью."

ewert в сообщении #459018 писал(а):

А об остальных ораторах, которые уже четвёртую страницу рассуждают о каком-то загадочном "импульсе", не замечая того, что не не имеют о нём никакого представления.

По определению, оператор импульса $\hat{p}=-\imath \hbar \frac{\partial}{\partial x}$ e basta! Это выводится из каких-то очень физических рассуждений, которые я приводить не буду.

[ewert]

Bulinator в сообщении #459140 писал(а):

у нас определено скалярное призведение на всем $\mathbb{R}$

Вовсе не на $\mathbb{R}$, а на $L_2(\mathbb{R})$. Пустячок, казалось бы, но когда такой путаницы в терминологии слишком много (как в этой ветке) -- ничего хорошего и не выходит.

Bulinator в сообщении #459140 писал(а):

Ну и что что там потенциал бесконечный?

Ничего. Просто попытайтесь определить, как действует гамильтониан с бесконечным потенциалом на функции из $L_2(\mathbb{R})$, а я на Вас погляжу.

Bulinator в сообщении #459140 писал(а):

словосочетание "бесконечный потенциал" означает "огромный, такой, что его можно считать бесконечным с достаточной точностью."

Это означает лишь одно: что рассматриваемый оператор в соответствующем пределе стремится к чему-то конкретному хоть в каком-то смысле. Для гамильтониана это действительно так: его собственные функции действительно стремятся к собственным функциям задачи Дирихле на отрезке. Что и даёт нам основания ставить на отрезке для гамильтониана граничные условия именно Дирихле. А к чему и в каком смысле стремится при этом оператор импульса?...

Bulinator в сообщении #459140 писал(а):

По определению, оператор импульса $\hat{p}=-\imath \hbar \frac{\partial}{\partial x}$ e basta!

Не спешите так. Вы же не указали область определения этого оператора.

[Bulinator]

ewert в сообщении #459152 писал(а):

Вовсе не на $\mathbb{R}$, а на $L_2(\mathbb{R})$.

Ну да да.

ewert в сообщении #459152 писал(а):

А к чему и в каком смысле стремится при этом оператор импульса?

Ну, как бы оператор импульса он оператор пространственных трансляций и от потенциала никак не зависит так что стремиться ему некуда.

ewert в сообщении #459152 писал(а):

Вы же не указали область определения этого оператора.

Она всегда одна - Множество кусочно гладких функций на $\mathbb{R}$.

ewert в сообщении #459152 писал(а):

Просто попытайтесь определить, как действует гамильтониан с бесконечным потенциалом на функции из $L_2(\mathbb{R})$, а я на Вас погляжу.

Учитывая предыдущее собщение насчет физ. бесконечности я игнорирую этот выпад!
ewert, я не зря в сообщении, в котором считал коммутатор импульса с Гамильтонаном взял случай конечной ямы. В случае бескончной, у нас вместо дельта-функции получается что-то очень дикое.
Понятно, что т.к. операторы не коммутируют, в случае конечной ямы, они не будут комутировать и в предельном случае. Другое дело, что этот коммутатор математичски будет очень некорректен(в отличие от конечного случая, где он немного некорректен). Теперь вопрос: что значит отсутствие оператора импульса с физической точки зрения? Вот пусть у нас есть инструмент, который как-то мерит этот импульс. Что он измерит во время эксперимента? Правильно, импульс

-- Пт июн 17, 2011 17:20:12 --

Итак, был вопрос: можно ли выбрать набор волновых функций в задаче квантовой частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме так, чтобы они были собственными функциями и оператора импульса и Гамильтониана.
Ответ(который меня удовлетворяет): нет, потому что оператор импульса и Гамильтониан не коммутируют.

-- Пт июн 17, 2011 17:27:56 --

Я не спорю, что эти выкладки не совсем корректны со строгой математической точки зрения. Конечно, с точки зрения математики, Вы правы. Однако, объяснение, что "оператора импульса не существует" на экзамене на физфаке меня бы не устроило и, уверен, не устроило бы и наших преподов. Математика- язык физики и если на этом языке что-то плохо выражается, это проблема языка а не природы. Импульс- это физическая величина и она всегда существует. Т.е. по-моему, эта та вменяемая граница, где можно и даже нужно немного отступить от математической строгости и поразмышлять физически.

[ewert]

Bulinator в сообщении #459164 писал(а):

Ну, как бы оператор импульса он оператор пространственных трансляций

Да?... И что же это за зверь такой -- трансляции на отрезке?...

===============================================

Ладно. Небольшой ликбез.

Согласно квантовомеханической аксиоматике, каждой физически наблюдаемой величине ставится в соответствие некоторый самосопряжённый оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний. Причём именно "в пространстве", а не "на пространстве": область определения оператора может и не совпадать со всем пространством. И именно самосопряжённый, а не просто симметричный, иначе теория разваливается.

Оператор $A$ называется симметричным, если $(Au,v)=(u,Av)$ для всех $u,v$ из области определения $D(A)$ этого оператора. (Ещё он должен быть плотно определён, т.е. $D(A)$ должна быть плотна во всём пространстве, но об этом-то на практике обычно заботиться не приходится -- обычно это получается автоматически.)

Оператор $A$ называется самосопряжённым, если он совпадает со своим сопряжённым: $A=A^*$.

Оператор $A^*$ называется сопряжённым к $A$, если $(Au,v)=(u,A^*v)$ для всех $u\in D(A)$ и $v\in D(A^*)$. Это в конце концов; формальное же определение таково. Пусть для данного $v$ существует такое $w$, что $(Au,v)=(u,w)$ для всех $u\in D(A)$. Тогда по определению $v\in D(A^*)$ и $A^*v=w$.

Естественно, из самосопряжённости следует симметричность. Обратное неверно: для симметричного оператора можно лишь утверждать, что $A\subset A^*$ (это означает, что оператор $A$ действует так же, как и $A^*$, но определён, вообще говоря, на более узком множестве функций). При расширении любого оператора сопряжённый всегда сужается (точнее, не расширяется). Поэтому есть шансы, что симметричный оператор удастся расширить до самосопряжённого. А может, и не удастся.

Все эти нюансы не имели бы никакого значения, если бы оператор был ограничен (тогда он определён на всём пространстве). Однако дифференциальные операторы заведомо не ограничены, их области определения заведомо меньше всего пространства, поэтому к ним надо подходить аккуратно.

Конкретно про оператор $i\frac{d}{dx}$ (минусик мне выписывать лень, тем более постоянные множители). В $L_2(\mathbb R)$ он определён (как самосопряжённый) фактически однозначно. Если его изначально определить, скажем, на гладких финитных функциях (или на классе Шварца, или ещё на чём, неважно -- лишь бы на выходе получались функции из $L_2$), то он оказывается "в существенном самосопряжён", т.е. его замыкание уже оказывается самосопряжённым в точном смысле; областью определения полученного оператора будет соболевский класс $W_2^1(\mathbb R)$.

На полуоси, т.е. в $L_2([0;+\infty))$, мы для обеспечения симметричности оператора $A=i\frac{d}{dx}$ вынуждены ставить граничное условие $u(0)=0$. Сопряжённый оператор при этом оказывается ровно таким же, но с одной оговоркой: на его область определения уже никакого граничного условия не накладывается. Таким образом, $D(A^*)$ отличается от $D(A)$ на некоторое одномерное подпространство. А это значит, что такой оператор не может быть расширен до самосопряжённого в принципе: если это одномерное подпространство добавить к $D(A)$, то $D(A^*)$ сузится и, значит, нарушится условие симметричности $A\subset A^*$. Поэтому на полуоси оператору $A=i\frac{d}{dx}$ в принципе не может соответствовать никакая наблюдаемая величина, ни в каком смысле.

На отрезке, т.е. в $L_2([a;b])$, ситуация промежуточная. Вновь для оператора $A$ приходится ставить граничные условия на концах: $u(a)=0,\ u(b)=0$, но здесь $D(A^*)$ и $D(A)$ различаются уже на двумерное подпространство. Число 2 -- чётное, поэтому есть шанс, что этот оператор расширить до самосопряжённого уже удастся, отщипнув одномерный кусочек от разности между областями определения и добавив его к $D(A)$. Если это действительно удастся, то полученной семейство всевозможных самосопряжённых расширений окажется однопараметрическим: выбор одномерного подпространства из двумерного определяется одним комплексным параметром, т.е. двумя вещественными, из которых оин выбивается требованием сохранения симметричности.

Как конкретно строить самосопряжённые расширения -- вопрос отдельный; в данном случае их легко просто угадать. Очевидно, что замена двух условий Дирихле на одно (более слабое) граничное условие: $u(a)=u(b)\cdot e^{i\theta}$ сохраняет симметричность. И нетрудно видеть, что для сопряжённого оператора при этом будет ставиться ровно такое же граничное условие. А поскольку это семейство однопараметрическое (с параметром $\theta$) -- им и исчерпываются все сапосопряжённые расширения.

Вывод: формальное дифференциальное выражение $i\frac{d}{dx}$ на отрезке задаёт самосопряжённый оператор тогда и только тогда, когда для него поставлено граничное условие вида $u(a)=u(b)\cdot e^{i\theta}$. Этим, и только этим операторам могут сопоставляться какие-то физически наблюдаемые величины. Какое из этих условий Вам больше по душе -- выбирайте сами; но других нет.

[Bulinator]

ewert в сообщении #459178 писал(а):

Сопряжённый оператор при этом оказывается ровно таким же, но с одной оговоркой: на его область определения уже никакого граничного условия не накладывается.

Что значит "накладывать граничное условие на область определения"?

[ewert]

Bulinator в сообщении #460402 писал(а):

Что значит "накладывать граничное условие на область определения"?

Это значит накладывать граничное условие на функции, входящие в область определения оператора.

Чтобы функция входила в область определения оператора, она должна удовлетворять некоторым условиям. Для дифференциальных операторов на эти функции накладываются два типа требований. Во-первых, это совершенно очевидные требования достаточной гладкости. Причём эти требования должны быть максимально мягкими (нужно требовать лишь, чтобы соответствующие производные существовали в обобщённом смысле и были квадратично интегрируемы) -- иначе оператор окажется формально не самосопряжённым, а лишь симметричным. Но это в некотором смысле ловля блох: практически всегда это требование автоматически выполняется после замыкания оператора. А вот другая группа требований -- граничные условия (если, конечно, есть граница) -- уже содержательна.

[edge]

Цитата:

Привожу полный вывод данного результата:
при $ x \in [0,\alpha]$ выполняется $ \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \lvert \psi_n \rangle = \frac{p_n^2}{2m} \lvert \psi_n \rangle $
при $ x \in (-\infty;0) \bigcup(\alpha; +\infty) $ выполняется \lvert \psi_n \rangle=0$
Решая для первого случая получим $ \lvert \psi_n \rangle = A e^{\frac{i p_n x}{\hbar}} +B e^{- \frac{i p_n x}{\hbar}} $
Первое краевое условие $ \lvert \psi_n(0) \rangle=0=A+B $ следовательно B=-A значит
$ \lvert \psi_n \rangle =A \left ( e^{\frac{i p_n x }{\hbar}} - e^{- \frac{i p_n x}{\hbar}} \right)=2A \sh (\frac{i p_n x }{\hbar})=2A i \sin(\frac{ p_n x}{\hbar}) $
Учитывая второе граничное условие $ \frac{p_n \alpha}{\hbar} = \pi n n \in \mathbb Z$ откуда $ p_n= \frac{\pi \hbar n}{\alpha} $
подставляя получаем $ \lvert \psi_n \rangle =2A i \sin (\frac{x}{\alpha} \pi n) $

получается импульс в основном состоянии n=1 принимает дискретные значения? импульс определен по модулю, но не определен по направлению?