Коммутативные диаграммы

[Oleg Zubelevich]

$\xymatrix{E\ar[rd]_B\ar[rr]^{A}&&{W}\ar[ld]^{C}\\&V}$

Пространства $E,W$ банаховы, $V$ -- нормированное. Операторы $A,B$ непрерывны, оператор $A$ действует "на".

Доказать: если $\mathrm{ker}\, A\subseteq\mathrm{ker}\, B$ то существует непрерывный оператор $C$ такой, что $B=CA$.

[Slava M]

Для линейных $A,B$, учитывая, что $A$ - эпиморфизм и $kerA \subseteq kerB$ элементу $w \in W$ сопоставим $v=B(A^{-1}w)$, где $v \in V$.

[Oleg Zubelevich]

Eсли правильно понимать эту вульгарную запись, то да, тривиальная часть задачи решена -- существование оператора $C$ установлено. Нетривиальная часть задачи состоит в доказательстве ограниченности оператора $C$. Думаем дальше.

[Slava M]

Непрерывность оператора $A$ означает, что прообраз любого открытого в $W$ множества при отображении $A$ открыт*. Открытому множеству $W_1 \in W$ сответствует некоторое открытое множество $E_1 \in E$, т.е. $A^{-1}(W_1)=E_1$. Тогда найдутся такие точки $w_1 \in W_1$ и $e_1 \in E_1$ что $A^{-1}(w_1)=e_1$. Из открытых покрытий $W_1$ элемента $w_1$ и $E_1$ элемента $e_1$ можно выбрать подпокрытия $W_2$ и $E_2$ так что $A(E_2)=W_2$. Следовательно $A^{-1}$ непрерывен в силу *. А следовательно непрерывен и $C$ как композиция непрерывных операторов.

[Oleg Zubelevich]

Slava M
Наберитесь терпения, если специалисты не выложат решения, я сам его выложу через несколько дней. Не мусорите здесь больше.

[Slava M]

Лемма о тройке. http://reslib.com/book/Elementi_teorii_funkcij_i_funkcionaljnogo_analiza/228

[Oleg Zubelevich]

Ну и что? Да, это известный факт. Печально, что Вы не смогли правильно списать решение из учебника.
Забавно, что безымянные соавторы Колмогорова Фомина не заметили, что банаховыми здесь должны быть только два пространства, а не все три.

У меня было такое доказательство.

Представим $A$ в виде [Робертсон Топологические векторные пространства] $A=A_*\pi_A$, где $\pi_A:E\to E/\mathrm{ker}\, A$ -- естественная проекция, а $A_*:E/\mathrm{ker}\, A\to W$ -- непрерывен и взаимнооднозначен. Пр теореме Банаха об обратном операторе $A_*$ имеет ограниченный обратный.

Аналогично $B=B_*\pi_B$, где $\pi_B:E\to E/\mathrm{ker}\, B$ -- естественная проекция, а $B_*:E/\mathrm{ker}\, B\to V$ ограничен.

Еще нам понадобится проекция $\pi:E/\mathrm{ker}\, A\to E/\mathrm{ker}\, B$. Очевидно этот оператор ограничен и $\pi\pi_A=\pi_B.$

Остается положить $C=B_*\pi A_*^{-1}.$

[Padawan]

Кстати, отображение $f\colon X\to Y$ топологического пространства $X$ на топологическое пространство $Y$ называется взаимно непрерывным, если множество $G$ открыто$\iff$множество $f^{-1} (G)$ открыто. Для взаимно-непрерывных отображений имеет место следующее утверждение: для любого отображения $g\colon Y\to Z$ отображение $h=gf$ непрерывно $\iff $ $g$ непрерывно.

Открытое или замкнутое непрерывное отображение на является взаимно непрерывным.

Простые доказательства этих утверждений см. Куратовский Топология, том 1, с. 125

[Oleg Zubelevich]

очевидно, самое время сформулировать общетопологическую версию теоремы о факторизации

[Kallikanzarid]

Я сначала решил, потом увидел решение, честно-честно

Раскладываем $A$, $B$ через $\pi: E \to E / \operatorname{ker}A$, получаем $A = \hat{A} \circ \pi$, $B = \hat{B} \circ \pi$. Имеем $CA = B$ ($C$ определено очевидно как, корректность следует из того, что $A$ - эпи, а $\operatorname{ker}A \subset \operatorname{ker} B$), откуда $C \hat{A} \pi = \hat{B} \pi$. Но $\pi$ - эпи (сократим справа), следовательно $C \hat{A} = \hat{B}$, откуда $C = \hat{A}^{-1} \hat{B}$. Но $\hat{A}$ непрерывен, следовательно непрерывен и $C$.

ЗЫ: если бы не условие $\operatorname{ker}A \subset \operatorname{ker}B$, был бы отличный достаточный признак (критерий?) универсальности $A$ в категории нормированных пространств и непрерывных линейных операторов (точнее, категории стрелок из $E$ в этой категории)