линейная алгебра

[Oleg Zubelevich]

$E$ -- конечномерное линейное пространство; $N\subseteq M\subseteq E$ -- подпространства.
$P:E/N\to E/M$ -- естественная проекция ($x+N\mapsto x+M$).

Доказать, что $\mathrm{dim\, ker}\,P=\mathrm{dim}\,M-\mathrm{dim}\,N.$

[ewert]

Пусть $E=N\dotplus A\dotplus B$, где $N\dotplus A=M$ и $V$ -- естественный изоморфизм между $A\dotplus B$ и $E/N$; он же будет изоморфизмом и между $B$ и $E/M$. Тогда оператор $V^{-1}P\,V$ действует тождественно на $B$ и обнуляется на $A$.

[caxap]

(Оффтоп. А почему так нельзя?)

$\dim\operatorname{ker}P+\dim\operatorname{im}P=\dim E/N=\dim E-\dim N$
$\dim\operatorname{im}P=\dim E/M=\dim E-\dim M$.

[ewert]

caxap в сообщении #459004 писал(а):

(Оффтоп. А почему так нельзя?)

$\dim\operatorname{ker}P+\dim\operatorname{im}P=\dim E/N=\dim E-\dim N$
$\dim\operatorname{im}P=\dim E/M=\dim E-\dim M$.

(Оффтоп. Можно.)