Спектр оператора Лапласа

[neo66]

Как явно найти спектр оператора Лапласа в простой области на плоскости с разными граничными условиями? Например, в прямоугольном треугольнике с условием Дирихле на одном катете и гипотенузе и условием Неймана на другом катете? И, вообще, посоветуйте литературу по этому вопросу.

[ewert]

Никак -- только численно.

[Portnov]

Кое-какие результаты около есть. Можно, например, сюда посмотреть: http://umf.susu.ac.ru/stuff/zakirova.html

В частности, «Седов А. И., Закирова Г. А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. Самара. 2008. № 2 (61). С. 34-42.»

Правда, обратная спектральная задача — это мягко говоря не то же самое :) Но, я думаю, у тех же авторов вполне могут быть результаты и ближе к вашему вопросу.

[Полосин]

Смотря что понимается под словом "найти". Даже в круге с.з. задачи Дирихле - это корни бесселевых функций.

Начальные значения, скорее всего, придется считать численно, но это не кажется сложным.

Асимтотику можно попробовать написать, отобразив область конформно на круг/квадрат/прямоугольник. Думаю, вам будет очень полезна классическая монография Бабича и Булдырева "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач".

[ewert]

Полосин в сообщении #458790 писал(а):

Асимтотику можно попробовать написать, отобразив область конформно на круг/квадрат/прямоугольник.

Для асимптотики есть стандартная формула, выражающая главный член через объём области и степень номера. Независимо от граничных условий.

[Полосин]

ewert, мы говорим о разных асимптотиках. Вы имеете в виду количество с.з., не превосходящих данного числа, я - асимптотические формулы для с.з. и (псевдо) с.ф.

[ewert]

Полосин в сообщении #458828 писал(а):

Вы имеете в виду количество с.з., не превосходящих данного числа, я - асимптотические формулы для с.з.

Это одно и то же, т.е. они взаимно обратны. А что такое (псевдо) с.ф. -- даже не догадываюсь. В каком смысле "псевдо"?...

[Полосин]

Насчет "взаимно обратны" - не понял. Рассмотрите задачи Дирихле и Неймана в круге. С.з. - это корни бесселевых функций в первом случае и корни производных бесселевых функций - во втором. Разве они совпадают?
О псевдособственных функциях: когда мы ищем с.ф. асимптотически, то главный член, вообще говоря, не похож на настоящую с.ф. (в отличие от с.з.). См. указанную книгу, а также Арнольд, "Математические методы классической механики".

[ewert]

Полосин в сообщении #458841 писал(а):

С.з. - это корни бесселевых функций в первом случае и корни производных бесселевых функций - во втором. Разве они совпадают?

Нет, но главные члены их асимптотик, разумеется, совпадают. Куда ж им деваться-то, коли они степенные.

-- Чт июн 16, 2011 20:56:13 --

Полосин в сообщении #458841 писал(а):

когда мы ищем с.ф. асимптотически, то главный член, вообще говоря, не похож на настоящую с.ф. (в отличие от с.з.).

Снова не понял: если то, что мы находим, "не похоже", то что же мы тогда ищем-то.

Вообще сильно сомневаюсь, что можно найти высокоэнергетическую асимптотику всех собственных функций в области хоть сколько-то нетривиальной формы. И Бабич с Булдыревым, насколько помню, просчитывали лишь два типа таких функций: типа "шепчущей галереи" и типа "прыгающего мячика".

[Полосин]

Обо всех с.ф. речь и не идет. А я имел в виду Добавление 10 из книги Арнольда, где сказано, в частности, что "... пытаться строить строгую высокочастотную асимптотику собственных функций - довольно безнадежное дело: лучшее, на что можно надеяться, - это получить приближенные формулы для почти собственных колебаний".

[neo66]

Можно я задам несколько тривиальных вопросов?

1. Спектр оператора лапласа на единичном квадрате с граничными условиями Дирихле это множество $\{\pi^2(k^2+l^2)\}$ , $k,l$ - натуральные.

2. Для граничных условий Неймана имеем то же самое, только $k,l$ - целые неотрицательные.

3. Для граничных условий Дирихле на трех сторонах и Неймана на четвертой, спектр - множество значений выражения $\{\pi^2(k^2+{(\frac{2l+1} 2})^2)\}$, $k$ - натуральное, $l$ - целое неотрицательное.

Правильно?

[ewert]

neo66 в сообщении #458893 писал(а):

2. Для граничных условий Неймана имеем то же самое.

Ну не буквально же то же самое. Естественно, спектр задачи Неймана лежит ниже, чем у задачи Дирихле. (В смысле предыдущий ответ если верен, то для именно Неймана, но не для Дирихле.)

Конкретные цифирки проверять лень (во всяком случае, они правдоподобны).

[neo66]

Уже подправил.

[ewert]

Ну теперь похоже.

-- Пт июн 17, 2011 00:08:34 --

А, нет, не совсем. Теперь в третьем пункте сбой с нулями.

[neo66]

Подправил еще раз.

Дальше такой интересный фактик:
оказывается спектр на единичном квадратике с условием Дирихле на трех сторонах и Неймана на четвертой в точности такой же, как у прямоугольного треугольника с катетами по $\sqrt 2$ и условием Дирихле на катете и гипотенузе и Неймана на втором катете. Только как это доказать не зная собственных функций для треугольника?