Последовательность со свойством

[Юстас]

Хотелось бы увидеть пример положительной убывающей последовательности $a_k$ со свойством $\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i+k}\leq q^k\cdot b_n \ \forall k, \ q=const\in(0,1), b_n\to\infty , \ \frac{b_n}{\sqrt{n}}\to 0,\ n\to\infty$ при достаточно больших $n$. Интерес естественно представляют последовательности, для которых приведенная оценка была бы не слишком завышена.

[Capella]

А такое решение не подходит:

$$b_n = n^{\frac 1 3}$$

$$q = \frac 1 2$$

А для ряда с бесконечным числом членов (

$$ n \to \infty$$

). Если член ряда зависит от суммы

$$i +k$$

, то может быть:

$$a_{i+k} = \frac 1 {(i+k)^2}$$

(положительна и убывает)

Добавлено спустя 10 минут 47 секунд:

Есть ещё один вопрос. У Вас последовательность изначально задана как

$$a_k$$

. Означает-ли это то, что стоит под суммой имеет двойной индекс

$$a_{k_i}$$

. Тогда можно для любого

$$k$$

сделать такую

$$\frac 1 {|k|^i}$$

[незваный гость]

Что-то странное это: $\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i+k}\leq q^k\cdot b_n$, кладем $n = 1$, имеет $a_{k+1} \leq q^k b_1$, соответственно, $\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_{k}\leq \frac{b_1}{1-q}$. Можно, конечно, взять $b_n = n^{1/3}$, но это ничего не поменяет по сути.

[Capella]

незваный гость писал(а):

:evil:
соответственно, $\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_{k}\leq \frac{b_1}{1-q}$.

Не совсем понятно, член

$$a_k$$

больше не зависит от

$$i$$

или это вообще константа относительно суммы? (которая выносится).

$\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_{k} = \phantom{0} n \cdot a_k \phantom{0} \text{при} \phantom{0} n \to \infty$, т.е. ряд расходящийся и неравенство не выполянется при таком

$$b_n$$

(растёт медленнее)

[Юстас]

В общем, вопрос в такой формулировке пока снимается.
Незваный гость: я в условии написал, что все рассматривается при боьших $n$.

[незваный гость]

Capella писал(а):

Не совсем понятно, член

$$a_k$$

больше не зависит от

$$i$$

или это вообще константа относительно суммы? (которая выносится).

Это описка, разумеется. $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{k}$

Добавлено спустя 1 минуту 44 секунды:

Юстас писал(а):

я в условии написал, что все рассматривается при боьших $n$.

Виноват, не понял, к чему относится «при больших $n$» — посчитал, что только к концу фразы. Но если это верно при некотором $n$ не зависящем от $k$, то $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a_k} = $ $\sum\limits_{i = 0}^{\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}a_{i * n + k} \leq $ $\sum\limits_{i = 0}^{\infty}q^{i n} b_n = $ $\frac{b_n}{1-q^n}$