предел последовательности

[tavrik]

Если
1 существует M>0 для которого $\frac{1}{M}<|a_n|<M$ для любого n.
2 последовательность $(|\frac{a_n}{a_{n+1}}|)$ сходится(не обязательно к конечному пределу)

то предел $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=1$

я ищу контрпример, такой, чтобы предела не существовало вовсе.
может, такого нету?

-- Чт июн 16, 2011 12:50:09 --

сорри.
нужно доказать либо опровергнуть утверждение

[ewert]

tavrik в сообщении #458648 писал(а):

я ищу контрпример, такой, чтобы предела не существовало вовсе.
может, такого нету?

Нету. Если предел существует и не равен единице, то сама последовательность ограничена по модулю или сверху, или снизу некоторой геометрческой прогрессией. Т.е. модули стремятся или к нулю, или к бесконечности.

[ИСН]

Контрчто Вы ищете? Чтобы последовательность сходилась, но предела не существовало вовсе? Это вряд ли. А если он существует, но не 1, то там надо повозиться и прийти к противоречию.

[Gortaur]

Т.к. у Вас сплошные модули, то можно просто рассмотреть положительную последовательность $(a_n)$, ограниченную в $[1/M,M]$. Допустим, $\lim_n \frac{a_n}{a_{n+1}} = a$. Т.к. $(a_n)$ ограничена, у нее есть сходящаяся подпоследовательность $a_{n_k}\to \alpha$. Очевидно, что

$$ a = \lim_k \frac{a_{n_k}}{a_{n_{k+1}}} = 1. $$